Qui n'a pas passé des journées d'été entières à chercher à se retourner pour voir si par hasard le soleil (ou la lune, ou une étoile) n'était pas entrain de le suivre ?  Par exemple en marchant, en courant, mais aussi dans le train, le nez à la vitre, et dans les transcontinentaux, le nez au hublot (bateaux, avions...).
 
Qu'on trouve ça poétique ou que ça donne vraiment froid dans le dos, au choix, le problème est là : les astres nous suivent dans nos déplacements.  
 
Si c'est le cas ça pose la question : pourquoi ?
Et ça ouvre un domaine de recherche encore inexploré, avec des questions du type :

• Les astres peuvent-ils suivre plusieurs personnes en même temps, et le font-ils fréquemment ?  
• Et si les personnes suivent des directions opposées ?  
• On sait qu'on ne peut pas planter des choux sur la lune, mais peut-on mettre un astre dans les choux en le semant ?  
• Les animaux sont-ils aussi de la partie ?  
• Et si c'était le mouvement qui attirait l'attention ? Effectivement quand on reste allongé sur la plage, le soleil commence par nous fixer mais finit pas s'éloigner. Si les astres suivent tout objet mobile, on peut imaginer un test en lançant des caméscopes en l'air et en étudiant le comportement du soleil d'après les précieux enregistrements.  

Toutefois, toutes ces questions nous sont interdites tant qu'on a pas répondu à la première de toutes :

• les astres nous suivent-ils dans nos déplacements ?

En consultant le chapitre sur les équinoxes du programme de 5ème des collèges on apprend que les planètes du système solaire évoluent sur un même plan dit "plan de l'écliptique". Mais aucune équation n'est donnée.
Ce que je demande donc c'est d'une part de méditer sur la question, et d'autre part, de considérer attentivement les équations du problème.  
 
Équations du problème :
Les variables principales du problème sont à mon avis les suivantes :
Un observateur M est en mouvement sur la surface terrestre S sans changements significatifs de direction V. Quand on change de direction D, l'astre N a lui aussi tendance à tourner. D'où l'intérêt d'imaginer un observateur M embarqué dans un train T filant à vive allure sur un tronçon droit Td. Penser au Concorde ou au TGV.
2ème chose,
sur la surface S du globe G, pour se déplacer d'un point A à un point B on ne suit pas une droite classique D (qui est sans arrondi), mais on suit un segment arrondi : un arc de cercle C.  
Un tel arc de cercle peut être n'importe quel arc dessinable sur la surface du globe à condition que son centre I soit identique au centre du globe O, et son rayon r égal au rayon R du globos. Autrement dit (AB) doit être un arc de "grand cercle" (car tous les autres arcs dessinables ont un rayon r plus petit que R, le rayon du globe). De plus si on ne suit pas un grand cercle, on aura l'impression de changer de direction V, on ne prendra pas le plus court chemin P sur le globe (le relief est ici négligé).
 


Illustration du fait que l'arc de grand cercle est le plus court chemin sur le globe

• L'illustration de gauche montre divers trajets en arc de cercle qui peuvent être empruntés pour que l'observateur se déplace du point A au point B sur le globe. L'illustration de droite correspond à la même figure mais tournée de façon à voir A et B, l'un derrière l'autre (par transparence).  
• Imaginons qu'on teste tous les arcs possibles passant par A et B (traçables entièrement sur notre globe). On commence par l'arc bleu (petit cercle). On tourne et on arrive à l'arc orange (C1), puis vient l'arc du cercle rose (grand cercle, c'est-à-dire de centre et de rayon égaux à ceux du globe lui-même). On passe ensuite par le cercle jaune C2, pour boucler sur le petit cercle bleu du départ.
• Sur la vue de droite on voit que de tous les trajets possibles, c'est le trajet rose le plus court! D'où l'intérêt d'éviter de tourner autour du pôle comme on dit :

car enfin en s'aidant des figures ci-dessus on voit bien que pour aller d'une ville à l'autre située sur la même latitude,  et sur des méridiens qui diffèrent de 180°, il faut passer par un pôle pour faire le trajet le plus court et donc le plus économique (si on néglige le chauffage!).
 

• On est donc sûr maintenant que le trajet le plus court entre 2 points est déterminé par le grand cercle passant par les 2 points, mais est-ce que ça signifie qu'on ne change pas de direction?
• La figure ci-dessous montre justement 2 points situés à la même latitude, à peu près 45° Nord si on interprète le dessin de la façon la plus courante. Si on se fie à la boussole le point B est donc à l'Est de A, et on pourrait croire 2 choses :  
• 1/ Qu'on effectuera  le chemin le plus court en suivant le cercle jaune.  
• 2/ Qu'on ne changera pas de direction. En effet si on suit l'arc AB de couleur jaune, on suit constamment l'indication notée E sur la boussole.  

La boussole est certes un outil pratique pour aller à coup sûr d'un point à un autre en s'aidant des points cardinaux lus sur une carte (100kmx100km maxi , au-delà j'ai un doute?..). Mais sauf exception on n'obtient pas le plus court chemin. Et on ne peut non plus compter là-dessus pour se maintenir dans une direction constante. Dans l'exemple ci-dessus on voit qu'on commence par aller trop à droite, puis à mi-chemin on corrige et on a tendance à aller vers sa gauche. - Mais droite, gauche, par rapport à quoi ?  
 
Pas par rapport à la direction de la boussole évidemment, mais par rapport au trajet que suivrait un rayon lumineux s'il était obligé de filer (sans déraper) sur la surface du globe. Car la lumière prend toujours le plus court chemin, donc celui du cercle rose. Concrètement ça veut dire que si vous êtes en A et que le point B est un phare situé à l'Est sur la carte, alors de suivre la direction E sur la boussole vous donnera l'impression dans l'hémisphère Nord d'aller trop à droite en rejoignant le phare, puis vous corrigerez vers la gauche à mi-chemin environ.
 
Pour faire l'expérience simulant le trajet collé au sol, on peut éventuellement prendre un faisceau laser fin tiré entre 2 sphères miroires parfaitement concentriques, parfaitement lisses, et faiblement écartées. Quel que soit l'angle de tir le rayon devrait revenir son point de départ après avoir décrit un grand cercle. Une impulsion unique peut sûrement faire plusieurs dizaines de tours parfaitement identiques.

• Ce qu'il faut retenir c'est qu'ici, il est important de suivre les grands cercles parce qu'il s'agit d'astronomie, c'est-à-dire de lampions lumineux perchés dans le ciel.  

Question subsidiaire : quelle est la forme géométrique de l'ensemble de points qui unit tous les centres des arcs circulaires inscriptibles intégralement sur la surface du globe et qui passent par 2 points A et B de la surface de ce globe ?

 
 
Coordonnées
On travaille dans un repère absolu classique, cartésien, orthonormé {O,X,Y,Z}. O est centre du globe de rayon R. Le plan (XY) contient l'équateur, et l'axe Z, les pôles Sud et Nord.  
 
1°
Données :
R est un nombre réel positif
 
alpha est un angle compris entre 0° et 360°
 
béta est un angle compris entre 0° et 180°
 
Travail à faire :

• Partant des coordonnées de A et B
• Déterminer l'équation de l'arc AB

Coordonnées de A et B
Paramètres sphériques du point A sur le globe : (R,alphaA,,bétaA)
Coordonnées cartésiennes de A :
XA=R*cos(alphaA)*cos(bétaA)
YA=R*sin(alphaA)*cos(bétaA)
ZA=R*sin(bétaA)
 
Paramètres sphériques du point A sur le globe : (R,alphaB,bétaB)
Coordonnées cartésiennes de B :
XB=R*cos(alphaB)*cos(bétaB)
YB=R*sin(alphaB)*cos(bétaB)
ZB=R*sin(bétaB)

2°
Équation du plan P contenant O,A,B
M(X,Y,Z) fait partie du plan P=(OAB) équivaut à écrire : OM=u*OA+v*OB
(Ce qui signifie qu'on étire arbitrairement les vecteurs OA et OB, et qu'on additionne le tout; le résultat est un nouveau vecteur OM du même plan que O, A et B.)
 
X=u*XA+v*XB
Y=u*YA+v*YB
Z=u*ZA+v*ZB
 
Équation de la sphère S de centre O, de rayon R (contenant A,B)
M(X,Y,Z) fait partie de S équivaut à écrire : X^2+Y^2+Z^2=R^2
(Ce qui signifie que la distance entre O(0,0,0) et M(X,Y,Z) élevée au carré égale le rayon de la sphère; le résultat est que M est évolue sur la sphère)
 
Équation du grand cercle de S passant par A et B
Appelons C ce grand cercle. M(X,Y,Z) est sur C signifie que M est à la fois sur P et sur S (intersection des 2 lieux).
On peut donc injecter les coordonnées d'un point de P dans l'équation de S. La nouvelle équation décrit C :
S : X^2+Y^2+Z^2=R^2
 
P :  
X=u*XA+v*XB
Y=u*YA+v*YB
Z=u*ZA+v*ZB
 
C : (u*XA+v*XB)^2+(u*YA+v*YB)^2+(u*ZA+v*ZB)^2=R^2
u^2 * (XA^2+YA^2+ZA^2) + v^2 * (XB^2+YB^2+ZB^2) + 2*u*v * (XA*XB+YA*YB+ZA*ZB) = R^2
(L'écriture vectorielle apportera un éclairage éventuel sur la signification : (u*A+v*B)^2 = R^2)  
 
3°
Paramétrisation de l'arc de grand cercle AB
Partant de l'équation du grand cercle de l'équateur E dans le repère absolu,  
X^2+Y^2=R^2
Z=0
on va tenter de trouver une paramétrisation de l'arc AB.
 
On part du constat que le grand cercle C, support de notre arc AB, se déduit de E par 2 rotations successives :

• la rotation d'axe OZ qui aligne OX sur Ok ;
• la rotation d'axe OL qui aligne Ok sur OK  

(petit k a été oublié sur la figure, on l'ajoutera mentalement. On peut poursuivre et le resituer plus tard).

On calcule donc L et K.
 
Calcul de L :
L et L' sont les 2 points d'intersection de l'équateur E et du grand cercle C passant par A et B.  
 
Données :
P :  
X=u*XA+v*XB
Y=u*YA+v*YB
Z=u*ZA+v*ZB
 
C:
C : (u*XA+v*XB)^2+(u*YA+v*YB)^2+(u*ZA+v*ZB)^2=R^2
 
E:
X^2+Y^2=R^2
Z=0
 
Croisements des données :
Z=u*ZA+v*ZB=0
donc u= (-v) * ZB/ZA
 
En exprimant P(X,Y) en fonction de v :
X=(-v) * ZB/ZA*XA + v*XB
Y=(-v) * ZB/ZA*YA + v*YB
 
Enfin, X^2+Y^2=R^2
donc : ((-v) * ZB/ZA*XA + v*XB)^2+((-v) * ZB/ZA*YA + v*YB)^2=R^2
 
Solutions (u;v) :
On pose N = ZA^2* (XB^2+YB^2)  + ZB^2* (XA^2+YA^2) - 2*ZA*ZB* ( XA*XB + YA*YB)
Sauf erreur de ma part, l'étude du signe de N équivaut à peu près à se demander si 2 surfaces, d'équations f et g, ont tous leurs points à altitude positive ou nulle. Si c'est le cas, N est aussi positif ou nul. Les graphiques obtenus sous Scilab confirment le fait.
 
Remarque : Le cas où N est nul correspond à A = B, cas pathologique s'il en est.

 
u1= - ZB*R / (N )^(1/2)  ;  v1=+ ZA*R / (N)^(1/2)
u2= + ZB*R / (N)^(1/2)  ;  v2=- ZA*R / (N )^ (1/2)
 
On choisit d'attribuer la solution 2 au point L (en contradiction avec la figure, c'est possible). La solution diamétralement opposée est L'.  
Les coordonnées absolues (XL,YL) sont données par :
XL=u2*XA+v2*XB
YL=u2*YA+v2*YB
ZL=0
 
4°
Calcul de k :
On en déduit les coordonnées de k par rotation d'un angle valant (90)° dans le plan XY :  
 
k = rotation[axe OZ, angle 90°] (L)
Rappel : cos( 90°) = 0  ;  sin( 90°) =  1
 
Xk = cos( 90°)*XL - sin( 90°)*YL + 0*ZL
Yk = sin( 90°)*XL + cos( 90°)*YL + 0*ZL
Zk = 0*XL + 0*YL + 1*ZL
 
Xk = - YL
Yk = XL  
Zk = ZL = 0
 
Angle Alpha  :
L'angle Alpha permet de passer de OX à Ok par la rotation d'axe OZ.
L'angle Alpha vérifie :
cos(Alpha) = Xk / R
sin(Alpha) = Yk / R
tg(Alpha)  = Yk / Xk
 
4°
On va tenter d'extraire K de la donnée de l'équation du méridien passant par K et k, ainsi que d'une droite convenable nécessitant une projection sur l'axe (OK) d'un des 2 points initiaux, A ou B.  
La donnée de K et de L permettra alors d'obtenir une base adéquate pour décrire le cercle rose de manière explicite, d'écrire une équation de cercle puis d'arc de cercle (l'arc de grand cercle AB en l'occurrence).
 
Équation du cercle méridien MKk :
Le cercle méridien Mkk est à l'intersection du plan (OkZ) et de la surface S du globe.
 
Équations :
 
Plan (O,Ok,OZ) :
Annoncer qu'un point M(X,Y,Z) de l'espace est un point du plan (O,Ok,OZ), revient au même que de dire que tout vecteur OM est orthogonal à un vecteur normal au plan. Comme vecteur normal, prenons le vecteur OL (orthogonal à Ok et situé dans le plan horizontal (OXY) (c'est-à-dire le plan orthogonal à (OkZ)).  Le produit scalaire entre OL et OM doit donc être nul :
OL.OM=0
soit XL*X + YL*Y + ZL*Z = 0
c'est-à-dire XL*X + YL*Y = 0  
L'interprétation est simple, il s'agit de l'équation de la droite (Ok) du plan (OXY). Toute droite de ce plan tisse un plan vertical dès qu'on active la 3ème dimension. Pour garder une équation de droite il faut ajouter l'information supplémentaire du type Z=0, c'est-à-dire décrire la droite comme intersection de 2 plans.
 
Sphère S :
X^2+Y^2+Z^2=R^2
 
Pour associer une équation à l'intersection du plan et de la sphère, on pourrait essayer de croiser les données mais les équations implicites dans un espace à n dimensions semblent assez inefficaces pour décrire des objets de dimension n-2.  A moins qu'il y ait une astuce que je ne vois pas, voilà ce que donne la tentative classique :
Y = -XL/YL*X
X^2 + (XL/YL)^2*X^2 + Z^2 = R^2
 (1+( XL/YL)^2 )*X^2 + Z^2 = R^2
Mais l'équation obtenue n'est pas celle d'un cercle mais d'un cylindre. En effet, l'absence de variable Y dans l'équation est interprétée implicitement comme une expansion dans le sens de l'axe (OY). On a donc échoué à injecter la contrainte sur Y tirée de l'équation du plan dans l'équation de la sphère. Les graphiques suivants illustrent le phénomènes. Le cylindre de la figure de droite est obtenu par expansion implicite du cercle intersection dans la direction (OY).

• Note : Je ne recommande pas les équations implicites quand on se lance dans des problèmes inconnus parce que contrairement à l'intuition qu'on en a, ce ne sont pas des équations qui décrivent les objets directement, mais le complémentaire de ces objets dans l'espace où ils sont plongés. Par exemple, 0=0 qui ne devrait rien nous apprendre est au contraire une équation bavarde pour la forme implicite : équation décrivant le volume entier de l'espace - sans restrictions; autrement dit X=X, Y=Y, Z=Z.  

Comme les équations implicites partent de la totalité et procèdent par restrictions successives, dès que l'écriture algébrique est un peu compliquée, on est jamais bien sûr de l'objet décrit par ce moyen. Est-ce qu'il n'y a pas trop de restrictions ou trop peu ? L'exemple ci-dessus illustre combien la situation est grave, au lieu d'un cercle, en croisant une sphère et un plan, on obtient un cylindre et un plan. C'est d'autant plus terrible que l'on ne peut pas après ça croiser la sphère et le cylindre, sans quoi on obtient 2 cylindres confondus et 2 plans distincts. Mais en aucun cas 2 cercles, ce qui serait de toutes façons trop. C'est pourquoi je me permet de le dire au monde entier, les équations implicites sont inefficaces. Ou alors je ne connais pas la méthode pour les empêcher de bourgeonner lorsqu'on s'acharne à croiser des souches compatibles. J'en profite donc pour poser humblement la question aux véritables connaisseurs , mais mon opinion restera ferme ( ).    
 
L'intérêt des équations vectorielles cinématiques est en revanche confirmé. On part d'un point,  on spécifie sa trajectoire, de la sorte ce qu'on a pas introduit comme degré de liberté au départ est définitif et ne risque pas de se multiplier au hasard. Enfin... les systèmes chaotiques y arrivent nous dit-on. En présence de ces systèmes, quand vous comparez 2 courbes définies vectoriellement sur des critères apparemment très proches, les trajectoires résultantes n'ont plus grand chose de commun, ni même de prévisible. Il est vrai que c'est gênant de partir, par exemple, de la trajectoire d'un cercle, de perturber un peu son centre, et d'obtenir un choux-fleur ! Enfin c'est une autre histoire...  
 
Pour paramétriser notre cercle méridien Mkk dans l'espace, on remarque qu'on peut générer le cercle à partir du vecteur Ok si :  

• O(0,0,0)  étant le centre du cercle et M(X,Y,Z), un point sur le cercle ;
• on se donne une rotation d'angle t, d'axe, une normale au plan du cercle passant par O ;
• la condition équivaut à dire que la rotation se fait dans le plan du cercle, la normale est inutile si on a en poche une base de ce plan.

 
Cercle MKk :
On travaille dans la base orthonormale (O,Ok/||Ok||,OZ/||OZ||). Dans le plan muni d'une telle base, la rotation de centre O, d'angle t, appliquée au vecteur Ok, s'écrit :  
 
OM= R * cos(t) * Ok / ||Ok|| + R * sin (t) * OZ / ||OZ||
 
Comme ||OZ|| = ||Ok|| = R :
 Mkk :
OM= cos(t) * Ok  +   sin (t) * OZ
 
Si on déplie le vecteur dans le repère absolu :
X = cos(t) * Xk  
Y = cos(t) * Yk
Z = sin(t) * R
 
Cette fois on a effectivement la trajectoire d'un cercle qui évolue dans l'espace 3D. Voir le screenshot Scilab.
 
Le point K est à l'intersection du cercle méridien MKk passant par k et de la droite (OK) elle-même égale à une droite (Ob) qu'on va définir.
Calcul de K :

Rappel :
Nos données initiales sont le globe terrestre supposé sphérique, centre O, rayon R. On associe à ce globe un repère cartésien classique, absolu, galiléen etc... tout ce qu'il y a de plus élémentaire. (OXY) est le plan de l'équateur. Les plans orthogonaux à (OXY) et passant par O (plans verticaux) sont dits plans méridiens. On peut puiser dans un cours de 5ème le récit des coutumes des géographes à l'égard de l'équateur et des méridiens.
On donne ensuite deux points A et B, pris tout à fait au hasard, sans être toutefois égaux. Sachant que les grands cercles de la surface terrestre passent par O, on cherche l'équation de l'arc de grand de cercle d'extrémités A et B.
 
5°
Détermination de la droite (OK)
On utilise le fait que (OLK) est une base orthogonale (il se peut que j'ai confondu orthogonal avec orthonormal par endroit, on corrigera à l'occasion...). N'importe quel point du cercle rose a une projection sur l'axe (OK), suivant l'axe (OL). L'intérêt de l'axe (OL) étant :

• qu'on connaît les coordonnées de L,  
• et surtout que (OL) appartient au plan (OXY) ce qui signifie qu'une projection selon (OL) ne fait pas varier Z.  

Prenons ainsi le point B (pour se conformer à la bulle de savon ci-dessus). On veut projeter B sur (OK). Comme il n'y a pas de variations en Z, on peut aussi bien travailler à l'altitude 0.  
Autrement dit, le point b - projeté orthogonal de B sur (OK) - est le projeté de B suivant la droite parallèle à (OL) passant par B, bien. Mais il est possible de tout plaquer sur (OXY) dans un premier temps, puis de réintégrer la donnée ZB à la fin. Le plaquage donne le point b' intermédiaire situé dans (OXY) comme projeté de B'(XB,YB) sur l'axe (Ok) suivant la direction (OL).
Déterminons b' :
 
Direction (OL) :
(OL) en tant que droite a une direction spécifiée par l'angle formé avec (OX) donné à 180° près. Dans ce cas l'angle de la droite (OL) est Alpha+90°. Alpha étant l'angle qui fait tourner (OX) en (Ok) et (Ok) étant orthogonal à (OL).
La direction de (OL) est la tangente de cet angle. Autrement dit le coefficient directeur de (OL) est tg(Alpha+90°) ou YL/XL.  
 
Droite (B'b') :
Comme (B'b') est parallèle à (OL), le coefficient directeur est le même. L'équation de droite est immédiate :
(B'b') : XL*Y - YL* X + C= 0  
(On a préféré l'équation implicite X'Y-Y'X+d=0  à la forme y=a*x+b pour éviter la division par zéro)
 
Sachant que (B'b') passe par B', l'équation ci-dessus est vraie pour le couple (XB',YB') = (XB,YB). D'où :
C =YL* XB - XL*YB
 
Droite (Ok) :
Mêmes considérations élémentaires :
(Ok) : Xk*Y - Yk*X = 0
 
Intersection b' de (B'b') et (Ok) :

• XL*Y - YL* X + YL* XB - XL*YB= 0  
• Xk*Y - Yk*X = 0

Xb' = ( Xk * ( XL*YB - YL * XB ) ) / ( Yk*XL -YL*Xk )
Yb' =  (Yk * ( XL*YB - YL * XB ) ) / ( Yk*XL -YL*Xk )
 
Point b :
Xb = ( Xk * ( XL*YB - YL * XB ) ) / ( Yk*XL -YL*Xk )
Yb =  (Yk * ( XL*YB - YL * XB ) ) / ( Yk*XL -YL*Xk )
Zb = ZB

Équation de (Ob) :
Se donner un vecteur OM(X,Y,Z) porté par (Ob) revient à étirer arbitrairement Ob d'un facteur w :
OM = w*Ob
 
Une fois dépliée dans (OXYZ) cette équation vectorielle devient :
X = w*Xb
Y= w*Yb
Z=w*Zb
 
Détermination du point K :
M=K si ||OM|| = R donc :
 
w^2*( Xb^2 + Yb^2 + Zb^2 ) = R^2
 
2 solutions :
w1 = + (R^2 / ( Xb^2 + Yb^2 + Zb^2 ) ) ^(1/2)
w2 = - (R^2 / ( Xb^2 + Yb^2 + Zb^2 ) ) ^(1/2)
 
On peut choisir arbitrairement w1 pour définir K, en associant à w2, le point K' diamétralement opposé.
 
XK = w1*Xb
YK= w1*Yb
ZK = w1*Zb
(Ne pas confondre ici B et b)
 
Cercle rose (KAB) :
On travaille dans la base orthonormale (O,OL/||OL||,OK/||OK||). Dans le plan muni d'une telle base, la rotation de centre O, d'angle t, appliquée au vecteur OL, s'écrit :  
 
OM= R * cos(t) * OL / ||OL|| + R * sin (t) * OK / ||OK||
 
Comme ||OL|| = ||OK|| = R, l'équation de (KAB) s'écrit :
OM= cos(t) * OL  +   sin (t) * OK
 
Si on déplie le vecteur dans le repère absolu :
X = cos(t) * XL + sin(t) *  XK
Y = cos(t) * YL + sin(t) *  YK
Z = cos(t) * ZL  + sin(t) * ZK  
 

 
Angle Bêta  :
L'angle Bêta permet de passer de Ok à OK par la rotation d'axe OL.
L'angle Bêta vérifie :
cos(Beta)=( XK^2 + YK^2 ) ^(1/2) / R
sin(Beta)=ZK / R
tg(Beta)=ZK / ( XK^2 + YK^2 ) ^(1/2)
 
Angle (OL,OA)  :
Les formules du produit scalaire et du produit vectoriel dans des repères orthonormés permettent d'extraire cosinus et sinus.
 
OL.OA = ||OL|| * ||OA|| * cos(OL,OA) = XL*XA + YL*YA + ZL*ZA
||OLxOA|| = ||OL|| * ||OA|| * sin(OL,OA) = ((YL*ZA - YA*ZL)^2 + (ZL*XA - ZA*XL)^2 + (XL*YA - XA*YL)^2 )^(1/2)
 
ZL=0 ;
OL.OA = ||OL|| * ||OA|| * cos(OL,OA) = XL*XA + YL*YA
||OLxOA|| = ||OL|| * ||OA|| * sin(OL,OA) = ((YL*ZA)^2 + ( ZA*XL)^2 + (XL*YA - XA*YL)^2 )^(1/2)
 
cos(OL,OA) = (XL*XA + YL*YA) * 1/R^2
sin(OL,OA) = ( ( (YL*ZA)^2 + ( ZA*XL)^2 + (XL*YA - XA*YL)^2 )^(1/2) ) * 1/R^2
 
Angle (OL,OB)  :
OL.OB = ||OL|| * ||OB|| * cos(OL,OB) = XL*XB + YL*YB
||OLxOB|| = ||OL|| * ||OB|| * sin(OL,OB) = ((YL*ZB)^2 + (ZB*XL)^2 + (XL*YB - XB*YL)^2 )^(1/2)
 
cos(OL,OB) = (XL*XB + YL*YB) * 1/R^2
sin(OL,OB) =  ( ( (YL*ZB)^2 + (ZB*XL)^2 + (XL*YB - XB*YL)^2 )^(1/2) ) * 1/R^2
 
Équation de l'arc de grand de cercle d'extrémités A et B :
GdAB :
 
Rappel : t doit être un angle issu de OL pour compatibilité avec la base où s'exprime l'équation vectorielle du cercle ; autrement dit si tM est le paramètre qui donne la position d'un poinr M sur GdAB, il doit être égal à (OL,OM).
 
tA = (OL,OA)
tB = (OL,OB)
 
Si tB<tA faire tB+360
Ainsi lorsque t parcoure les valeurs de t allant de tA à tB , l'équation de l'arc de grand arc de cercle sous-tendu par A et B est :
 
********************************
**** X = cos(t) * XL + sin(t) *  XK   **
**** Y = cos(t) * YL + sin(t) *  YK    **
**** Z = cos(t) * ZL  + sin(t) * ZK   **
********************************
Notes : ZL = 0
Warning : Les angles doivent être convertis dans l'unité de votre calculatrice sous peine de résultats faux
 
 
\ \ / /
>°~°<  [Paused]
---------------------------------------------------------

[Reprise]
7°
Il apparaît à la lumière de certaines  interventions du topic qu'il est intéressant d'associer au point M(X,Y,Z) de l'arcdgc GdAB (arc de grand cercle d'extrémités A et B) la base dite : base de Frenet.  Les calculs utilisent alors le calcul différentiel.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Rep%C3%A8re_de_Frenet
http://fr.wikipedia.org/wiki/Exemp [...] riv%C3%A9e
 
La base de Frenet (T,N,Bn) se déduit de l'équation paramétrique de GdAB dans (O,X,Y,Z) en introduisant l'abscisse curviligne s. Cette abscisse curviligne est essentiellement caractérisée par :
 

• (ds/dt)^2 = (dX/dt)^2 + (dY/dt)^2 + (dZ/dt)^2

Donc (ds/dt)^2 = R^2 ;
ds/dt = R ;
soit  

• dt/ds = 1/R
• s = R * t , si on fait débuter notre arc à l'abscisse 0.

La dernière remarque souligne que t dans l'équation de GdAB est l'angle entre (OA, OM). Introduire une fonction quelconque pour la vitesse du mobile M, reviendra à substituer T(t) à t, en considérant cette fois t comme le temps et grand T comme l'angle obtenu à l'instant t. Ici, histoire de déblayer le chemin, les calculs se font dans le cas particulier où T(t) = t (vitesse constante égale à 1 unité d'angle divisée par une unité de temps au choix, 1 km/s par exemple).
 
 
Base frénétique (et calculs qui vont avec) :
Les notations sont pénibles à taper donc je vais éviter les calculs intermédiaires (qui a dit ouf ?).  
La base (T,N,Bn) est :
 
T = dOM/ds
T = dOM/dt * dt/ds

• XT = ( XK * cos(t) - XL * sin(t) ) * 1/R  
• YT = ( YK * cos(t) - YL * sin(t) ) * 1/R  
• ZT = ( ZK * cos(t) ) * 1/R  - ZL/R * sin(t)

Warning :
Les angles doivent être convertis dans l'unité d'angle de la calculatrice sous peine de résultats faux
 
N = R * dT/dS  
N = R*dT/dt*1/R
N = dT/dt

• XN = ( - cos (t) * XL - sin(t) * XK ) *1/R
• YN = ( - cos (t) * YL - sin(t) * YK ) *1/R
• ZN = - cos (t) * ZL/R - ( sin(t) * ZK ) *1/R

Bn = T x N  

• XBn = YT*ZN - YN*ZT
• YBn = ZT*XN - ZN*XT
• ZBn = XT*YN - XN*YT

Astuce : Si on ne souhaite pas calculer N et T, on pourra ici changer l'indice T en L, et l'indice N en K .  
La raison de cette astuce est que les plans (OKL) et (MTN) sont les mêmes, égaux tous 2 à (OAB). De plus la division par R^2 est cohérente puisque Bn doit être un vecteur unitaire (longueur ||Bn||=1) alors qu'on a ||OkxOL||=R*R*sin(90°).  
Le sens (signe) du vecteur normal obtenu pourra cependant poser question (d'ordre assez mineur pour nous) ...
Bn :

• XBn = ( YL*ZK )  / R^2
• YBn = - ( ZK*XL ) / R^2
• ZBn = ( XL*YK - XK*YL ) / R^2

Base de Frenet associée à un point M de GdAB - le vecteur T suit le mouvement, N est tourné vers le centre, et Bn est dit vecteur de torsion.
Remarque : Les coordonnées des vecteurs de la base de Frenet données ci-dessus, sont exprimées dans la base (XYZ) à ceci près que le centre du repère n'est plus O mais s'est déplacé en notre point M sur la courbe. Les coordonnées des vecteurs de base exprimées dans le repère (O,X,Y,Z) s'obtiennent en faisant OM+T ou OM+N ou enfin OM+Bn.  
Mais au final on travaillera directement dans le repère (MTNBn) dit repère mobile. Il faudra faire un changement de base. On verra comment.
 
 
8°
Plan (MBnT)  
Généralités sur la très funèbre notion d'horizon :
 
Puisqu'il est orthogonal au rayon de la sphère, M étant un point sur le globe, le plan (MBnT) est le plan tangent au globe en ce point.  
En l'absence d'une cause inattendue de déviation : la direction du rayon (R) est à proprement parler verticale.  

• Le plan orthogonal à R est donc qualifié à juste titre de plan horizontal. De plus, comme on le supposera ici, si le point M est plaqué sur la surface du globe, on parlera de "plan d'horizon", plan au-dessus duquel l'astronome dispose du champ de vision hémisphérique (penser à ce que peut observer quelqu'un qui sort à peine la tête d'un trou).  
• Une ligne d'horizon est donc ce que dessine sur la sphère céleste la tranche du plan d'horizon. Mais l'angle solide interceptant la voûte céleste peut cependant être supérieur à l'angle solide qui capte une demi-sphère. Par exemple si M s'élève dans les airs, la zone de la voûte céleste située en dessous de la ligne d'horizon se dévoile. L'étendue de cette zone varie avec l'altitude du regard ainsi que la taille du globe. Sans parler de l'atmosphère qui semble diminuer la profondeur du champ de vision au dessus de l'horizon mais offre une contrepartie sous forme d'une extension de la vision dans la frange sub-horizontale - ce qui peut se révéler fort étrange à l'usage (penser aux mirages).  

• Dans tous les cas le plan d'horizon est un premier repère valable pour qu'un observateur puisse étudier le mouvement relatif d'un astre. Or il se trouve que le repère (MTBn) est un repère de ce plan, l'utilisation de la base de Frenet est donc justifiée.

 
9°
Introduction de la trajectoire d'un astre
 
Prenons le cas standard où un astre décrit un cercle qui a son centre au centre de la Terre. Donc la trajectoire de l'astre suit l'équation du mouvement grand-circulaire relatif à la Terre à ceci près que le rayon diffère du rayon terrestre (d'un facteur considérable).

• Il n'est pas nécessaire d'utiliser la forme général en 3D pour les équations. Les degrés de liberté concentrés dans le choix des points A et B sur Terre suffit à couvrir tous les cas (de mouvements relatifs).  
• Par simplicité, on placera le cercle astral dans le plan (OXY).  

Il y a en revanche complication difficile à éviter : l'introduction d'une vitesse angulaire personnalisée. Exemple : un tour pour 24h.
Cependant une vitesse constante quelconque sera déjà une bonne généralisation - compatible avec la gravitation newtonienne.  
 
Nous disons donc que l'astre tourne d'une unité d'angle pour w unités de temps (la conversion des unités étant contenues dans le facteur w). Par exemple, le soleil tourne d'1 tour pour 24 heures. La vitesse angulaire est donc de 1/24 tours par heure (approximativement 0.041_tours/h). Si on donne t=1 heure, 24*t = 1 tour. (1 tour de cercle étant une unité d'angle - équivaut par exemple à 360°)
 
L'équation de la trajectoire Castro s'écrit dans (OXYZ) :
Castro (OXYZ) :
****************************************
* Xastro = Rastro * cos(w*t+a0)                    *
* Yastro = Rastro * sin(w*t+a0)                     *
****************************************
L'angle a0 est l'angle initial; lorsque t = 0. De même, quoique ça n'apparaisse pas les coordonnées du centre sont nulles (point O).  
 
Il faut maintenant écrire l'équation représentant fidèlement Castro dans le repère mobile. Conformément aux suggestions des mécaniciens du forum, on utilisera pour ça le calcul matriciel. Grâce à Scilab, le calcul, quoiqu'un peu mystérieux, ne sera qu'une formalité.
 
 
Repère frénétique (MastroTBnN) :
Voyons la méthode numérique avec Scilab (10° et 11°), puis on écrira l'équation de Castro dans (MastroTBnN) par un calcul littéral (12°).
 
10°
Méthode numérique :
Pour chaque instant t situé dans l'intervalle qui nous intéresse, la méthode numérique consiste à calculer le point Mastro du cercle astral dans le repère souche (OXYZ).
 
Fixons le rayon astral à Rastro = 1000 km ( simplification provisoire ).  
Reprenons la vitesse angulaire w=0.041_tours/h. Supposons qu'à t = 0, a0 = 0. Si t=12h, l'angle paramétrant la trajectoire est égal à :

• 0.041*12 =  0.492 tours ;

L'unité d'angle est une contrainte fondamentale pour le calcul des fonctions trigonométriques. Il faut se référer au réglage de votre calculatrice, probablement des degrés décimaux. Par définition les fonctions trigonométriques n'acceptent toutefois que les angles exprimés en radians, c'est-à-dire les angles définissant un tour comme égal à 2 pi radians. Votre calculatrice qui semble accepter les degrés fera elle-même la correspondance basée sur la définition 1 tour = 360° = 2 pi, soit à :

• 1 tour = 2 pi (radians) ;
• 1° = 2 pi / 360 (radians) .

Par défaut Scilab attend des angles en radians.  
0.492 tours = 0.492 * 2 pi  
 

Équivalent à :

• Xastro = 1000 * cos( 3.091236 )
• Yastro = 1000 * sin(  3.091236 )  

Mais utilisons Scilab d'un simple mais radical copier/coller dans la fenêtre d'exécution (ou dans l'éditeur) :
 

tip : utiliser un ";" en fin de ligne pour ne pas activer le résultat d'une ligne de calcul.
 
Mastro :
Xastro = - 998.73237 km
Yastro =  50.335374 km
 
Certains voudrons par curiosité tracer le cercle. A cette fin, on peut exécuter la procédure suivante :
tip : utiliser "//" pour faire suivre d'un commentaire une fin de ligne.
-

 
On sait donc calculer un point Mastro fonction de t, et manifestement tout point de Castro. Mais le but c'est d'obtenir la trajectoire astrale relativement au repère mobile associé à M, observateur terrien.  
 
 
Définissons un globe dans (OXYZ) qui nous tiendra lieu de Terre pour cet exercice :

• Globe terreste : Centre O(0,0,0), rayon R = 100 km.

Il nous faut 2 points A et B pour définir l'arc trajectoire de M.  
Au hasard :
// Point A :
XA = 70.215 ;
YA = 49.1651 ;  
ZA = 51.5038 ;
// Point B :
XB = -25.7834 ;
YB = 2.2558 ;
ZB = 96.5926 ;
 
Tous calculs faits (voir la 1ère partie du topic), le point M dépendant du temps t, évolue selon l'équation GdAB :
Remarque : on ne s'était pas soucié de la vitesse angulaire de M jusqu'à présent, et il n'est donc pas prévu de pouvoir modifier la spécification w=1 unité d'angle / unité de temps. Tout changement dans l'équation d'évolution du point M se répercutant sur la base de Frenet, on étudiera ça une autre fois.
 
XM = cos(t) * 86.8317 + sin(t) *  (-7.4862)    
YM = cos(t) * 49.6010 + sin(t) *  13.1054    
ZM = sin(t) * 98.8544      
 
tB = 102.3321 * pi / 180
 
Vecteurs de base de Frenet au point M, exprimés dans (OXYZ) :

• Tangente T :

XT = ( -7.4862 * cos(t) - 86.8317  * sin(t) ) * 1/100  
YT = ( 13.1054 * cos(t) - 49.6010 * sin(t) ) * 1/100  
ZT = ( 98.8545 * cos(t) ) * 1/100  

• Normale N :

XN = ( - cos (t) * 86.8317  - sin(t) * (-7.4862) ) *1/100  
YN = ( - cos (t) * 49.6010 - sin(t) * 13.1054 ) *1/100  
ZN =  - ( sin(t) * 98.8545 ) *1/100  

• Binormale Bn :

XBn = YT*ZN - YN*ZT
YBn = ZT*XN - ZN*XT
ZBn = XT*YN - XN*YT
 
11°
Démarche Scilab :
 
Voilà le bloc-diagramme de la méthode :

  Rassurez-vous, on a fait la moitié du chemin. Il reste à introduire la matrice de changement de base.
 

• Primo on ne va pas utiliser la base de Frenet native, où on décline les composantes des vecteurs selon T, puis N, et enfin Bn, mais on utilisera un ordre plus adapté d'écriture : selon Bn, T, puis N.  Ça ne change rien de fondamental. C'est simplement qu'on veut conserver explicitement pour N le rôle naturel d'axe des altitudes, puisqu' au point M, centre du repère de Frenet à l'instant t considéré, il suit un rayon.
• Pour obtenir les coordonnées dans (OXYZ) d'un point P(XP,YP,ZP) dont on connaît les coordonnées P(XPF,YPF,ZPF) dans (MbnTN) il suffit de multiplier les coordonnées (présentées en lignes) du vecteur P connues dans Frenet par une matrice composée de la donnée des vecteurs Bn, T puis N, présentées en colonnes :

(XP, YP, ZP) = [ Bn, T, N ] * ( XPF, YPF, ZPF )
Passage de Frenet à (OXYZ)
 
Inversement, si partant d'un vecteur exprimé dans (OXYZ) on souhaite connaître son écriture dans nôtre Frenet (MbnTN), on calcule :
 

• (XPF, YPF, ZPF) = [ Bn, T, N ]^(-1) * ( XP, YP, ZP )

Matrice de changement de base :
Notons MatrixChgBs = [ Bn, T, N ] , soit explicitement le tabloïd suivant :

 
Nous nous intéresseront donc à l'opération  
(XMastroFrenet, YMastroFrenet, ZMastroFrenet) = inv(MatrixChgBs) * ( XMastro, YMastro, ZMastro )
                                                                               
(XMastroFrenet, YMastroFrenet, ZMastroFrenet) = *  ( XMastro, YMastro, Zmastro )  
                                                                                 
 
Il se trouve justement que Scilab se veut nativement dédié au calcul matriciel.  
Voici un extrait sur lequel on appréhende le changement de repère. Le vecteur AB quelconque dans (OXYZ) perd la composante relative à l'axe Bn du repère de Frenet ( - 1.599 * 10^(-14) ).  
 

Frenet, Castro et MastroFrenet, sont sur un bâteau ...
Procedure Scilab :
Voici à présent la procédure Scilab que j'ai personnellement mise en œuvre. Le script n'introduit aucun élément nouveau par rapport à tout ce qui a été vu jusqu'ici.  
>Tutorial officiel ici<

 

Animation "saccadée" obtenue à partir du graphique Scilab sous différents points de vue.  
La trajectoire est celle de l'astre.
Le mobile M est figé au centre, le repère étant de Frenet.
 
Variations :
En changeant le paramètre w de l'astre (vitesse angulaire) on peut obtenir un exemple plus parlant où la trajectoire suit une sorte de spire. L'interprétation en est simple. Le point M met tellement de temps à se rendre de A à B que l'astre a bien le temps de faire plusieurs tours. On peut compter sur le graphe 4 jours et 3,5 nuits (astraux).
 

Graphique obtenu sous Scilab. Le repère est celui de Frenet.
 
Remarques importantes sur la validité du script V1 :  

• La cohérence des unités de temps et d'angles n'a pas été vérifiée, et me paraît un peu douteuse. Il est donc préférable de voir dans ce script une simple introduction à la méthode et un outil servant à cerner qualitativement l'étendue des possibilités ;
• De plus il y a une lacune dans la définition de la trajectoire de l'arc GdAB : lorsque l'on se trouve en dehors de l'intervalle (tA, tB), le point M est envoyé en O. Pendant ce temps la base mobile continue de tourner mais de manière factice, au centre de la Terre. J'essaie de réparer ça en envoyant sur %i, c'est-à-dire un nombre imaginaire qui ne sera pas affiché.  
• Enfin, ne faîtes pas varier R ! mais plutôt Rastro. Les paramètres de base ont été calculés avec R=100. Si on modifie R, il faut recalculer des choses comme les points L, K, les quantités tA, tB... et réinjecter les nouvelles équations de M dans le script. Ce n'est ni très long ni même difficile, mais il ne faut pas faire semblant de l'oublier

12°
Calcul littéral :
Cette partie sera rapide et consistera à effectuer au moins une fois la multiplication matricielle. Mes informations sur le sujet on été prises sur ce topic - grâce aux interventions de certains connaisseurs, et sur divers sites :
http://www.alrj.org/docs/3D/mat-rep.php
http://www.sciences.univ-nantes.fr [...] 3mesol.htm
http://assocampus.ifrance.com/paget/vecart.htm
 

Une configuration particulièrement émouvante.
 
                                                                                  /   XBn  XT  XN   \  ^ (- 1)
 (XMastroFrenet, YMastroFrenet, ZMastroFrenet) =        |     YBn  YT  YN  |          *  ( XMastro, YMastro, Zmastro )
                                                                                  \   ZBn  ZT   ZN  /

~1°/ Il semble que le passage entre 2 bases orthonormées, c'est-à-dire dont les axes pris 2 à 2 sont orthogonaux et de longueur 1, inverser une matrice de changement de base revient à calculer sa transposée. La transposition de matrice est on ne peut plus simple puisqu'elle intervertit lignes et colonnes. La 1ère colonne de la matrice devient la 1ère ligne de sa transposée.
 
L'inverse de MatrixChgBs est donc :

 
[b][/b] Mais attention ce cas n'est pas général.  Les simplifications ont pour origine l'utilisation d'un trièdre direct :

 
Bien. Il reste que dans notre affaire on peut calculer l'inverse de MatrixChgBs en un tour de main. Il faut maintenant multiplier par Mastro.
 

~2°/  
                                               
 
A noter que bien que formellement ce produit soit juste, j'ai un doute quant à son application ici. Il faut bien se souvenir que les produits de matrices ne commutent pas, que les vecteurs lignes ou colonnes ne peuvent pas se multiplier selon qu'ils sont ou non du bon côté de la multiplication .etc.. Je tacherai d'éditer le texte pour faire des corrections en fonction du nombre d'erreurs qui seront signalées... Mais utilisable ou non, la multiplication ci-dessus est juste.
 
Si on a le courage de remplacer les coordonnées par les fonctions de t correspondantes, on obtient la trajectoire du vecteur MastroFrenet dans le repère mobile (qui apparaît alors comme figé!).
 
 
X°
Fin d'étape
Je m'arrête donc ici pour le moment.  
La suite consistera à introduire les coordonnées sphériques et tous les éléments permettant de repérer numériquement l'astre par rapport à l'observateur terrien. En fait je vois déjà plusieurs méthodes envisageables. Mais laissons ça pour la prochaine fois.
Merci d'avance aux connaisseurs de faire un bref signalement des erreurs, et les traditionnelles suggestions de méthodes.
J'ajoute que les amateurs de Scilab trouveront toujours ici table ouverte.
 
 
 
 
---------------------------------------------------------
 
APPENDICE
Utilisation de Scilab pour tracer les graphiques du topic.
Télécharger Scilab (gratuitement) si ce n'est pas déjà fait (site de l'INRIA) puis ouvrir l'éditeur de script (par le menu ou commande scipad dans la console).
En copiant l'exemple ci-dessous, on peut tracer des folium paraboloïdes (Menu "Exécuter" ), ainsi que - moyennant des modifications mineures, les autres fonctions z=f(a,b) en général.

T'es un grand malade toi    

J'aime bien répondre aux questions que les petits me posent  

+  =

En d'autres termes, la faim justifie les moyens
 
Mais ne me dites pas que vous vous étiez jamais posé la question du topic.

 
Oui ça m'est arrivé de me poser la question. Dans le train. Tu vois ? Le moment ou tu es un peu embrumé par le bercement du roulement. Mais toi tu vas beaucoup plus loin !
 
Le début est excellent !
Mais c'est trop pointu pour le commun des membres de HFR, dont moi.
Tu ne veux pas faire un résumé ?
 
 

 
Maintenant tu sais que le plus important n'a pas été fait  
Des idées peut-être?

IWH

Pareil, c'est dans le train en général que tout commence, surtout s'il y a des mômes, alors là t'es cuit Où alors t'as ton Astronomy Handbook sur toi. Ou ton sextant !

 
C'est pas tellement pointu sinon, c'est surtout détaillé pour permettre d'y revenir à tout moment.
Faut aussi le prendre comme un petit tutorial Scilab.

L'éclipse permanente quoi.

Si je reprends :
1-* le début ça vise uniquement à expliquer que tout trajet qu'on fait à la surface du globe suit un grand cercle, ou alors c'est qu'on change de direction.
2-* La 2ème partie donne l'équation (laborieusement) d'un arc de grand cercle (3D).
3-* Et enfin, et là ce n'est pas fait : il reste à étudier le mouvement du soleil par rapport à un mobile terrestre qui suit son petit arc de chemin.  
La trilogie du samedi soir en un mot  

wat de diamant  

 
 
Il est trop cute le smiley      

Je te rassure, tu peux voir le soleil suivre les gens à la télé, et dans tous les jeux xbox tant soit peu réalistes.

 
 
     
Ma minette aussi elle aime bien les boites    

IWHFP

Félicitations !
 

J'étais enfant.  
Tu sais que tu poses une question qu'on s'est peut-être tous posé mais que je n'ai jamais pensé ni osé ?
 
 

 
J'ai pas vraiment l'énergie de tout lire maintenant, une seule question: est-ce que tu vises à démontrer une hypothèse dans un registre purement physique et mécanique, ou bien ton intention est plus ésotérique et tend à prouver une inquiétante machination du dieu Râ?

bon sinon je comprend pas le pb posé: c'est quoi suivre une personne physique pour un astre ?

  éhéhé, pas facile en effet de demander au scout d'à côté s'il a pas remarqué une présence.  
Ceci dit il se peut que dans des cas précis, cette sensation soit vraie. Pour savoir quand, il faut comparer trajectoires du soleil et des divers mobiles terrestres. On peut même essayer de prendre le soleil à son jeu et le suivre! Mais là encore quelle est l'équation de la trajectoire ? direction, vitesse entre autre...  

Eh bien toi ou moi, pas une montagne, ou un bout de caillasse    Je sais pas si j'ai bien répondu  

Disons qu'on se contentera de géométrie pour le moment. Je laisse Râ et la duplicité de la mécanique cantique à plus forcené que moi.  

Dire qu'il y a mille ans, on t'aurait pris pour un fou.

Ce cas m'isole de force    
Désolé je ne l'avais jamais faite, et je plussoie à ton affirmation  

 
 
    Alors toi, t'es fort.

Tout est dans le titre!

 
C'est une impression, essaie d'imaginer. Promène toi dehors et observe.
 

J'avais quand même trouvé la réponse.

Non. Qu'entends-tu par «suivre» dans le cas d'un astre ?
 
 
 

Perso j'ai pris le train tous les jours pendant 2 ans j'ai jamais eu l'impression que le soleil me suivait

Fatalement la nuit   (rassurante pour le coup!)

Le même sens que quand une voiture te suit à 30 m sur l'autoroute, mais sauf que là vous êtes 2 sur l'autoroute.

Un grand bravo, tu t'es donné du mal pour un sujet pareil

Mort de fatigue pour la science.  

Ok donc ça ne tiens qu'à la distance parcourue et/ou la vitesse de l'homme, dans une première approximation des astres fixes par rapport à la Terre.

La remarque ne manque pas de finesse, oui "suivi localement" convient aussi si on précise les limites.

Nah mais sans dec' pourquoi y'a autant de bordel ? Suffit de dire qu'on bouge très peu par rapport à la distance de l'astre, l'angle de déplacement de son point de vue est ridicule et voilà, merde