J’ai un tableau de donnée et je
dois trouver une équation polynomiale qui la simule mathématiquement (
de la forme y=f(x)). J’ai donc utilisé la méthode des moindres carrées
comme nous l’avons vu en probabilité. Aussi, la c’est insuffisant et je
me suis tourner vers une autre méthode plus algébrique (http://perso.orange.fr/metgen/metrologiefr02.htm) qui
marche très bien, j’ai un très bon résultat mais le polynôme qui
convient le mieux est un polynôme de degré 10 d’après la méthode, bien
que mes données donne APPROXIMATIVEMENT une droite, j’aurais donc voulu
savoir s’il était possible qu’une approximation polynomiale de degré 10
soit meilleur qu’une approximation polynomiale de degré 1 dans ce cas
(la justesse algébrique du polynôme de degré 10 est de   cos (q) =
0,999975326730746 alors que celle de degré 1 est de  cos (q) =
0,8027009590032545  ) qui est à comparer à un. Mon problème est qu’un
ingénieur me dit que c’est faux bien que je suis sur de mes calculs.
J’aurais donc aimé votre avis et me confirmer que ma démarche est bonne.

plus tu augmenteras le degré, plus tu pourras obtenir de meilleures approximations
logique
 
après il faut que tu connaisses la précision de tes mesures
si elles ne sont pas précises, tu peux te contenter de l'approximation linéaire dans ton cas
de même si les mesures correspondent à un phénomène physique linéaire

en fait je n'ai pas tout dit
 
ton polynome d'ordre 10 passera mieux par tes points de mesure que celui d'ordre 1
par contre pour les points entre les mesures (ou même à l'extérieur), l'approximation risque d'être catastrophique
 
trace tes 2 courbes avec tes points, tu constateras par toi même

merci irish boy, en fait, à l'oeil nu, je ne vois aucune différence, mais c'est plus au niveau du cos(q) que ça me conforte, donc puis je en conclure que mon poly de degré 10 est meilleur en conclusion Irish boy?
 

Mais tu parles de deux choses différentes !
Tu veux faire quoi, une interpolation ou bien une régression linéaire ?

 
non
 
tu peux juste en conclure que c'est celui qui passe le mieux par les points de tes mesures

benh...comment puis dire lequel est le meilleur puisque à l'oeil nu je ne peux pas faire la différence alors?
 
merci à toi

 ;

Comme le dit Irish boy, tout dépend de la précision de tes mesures,  
 
Par exemple, il n'y a aucun intérêt de fournir un résultat avec trois chiffres après la virgule alors que les données qui t'ont permis de trouver ce résultat sont précis à seullement deux chiffres.
 
La mathématique te donne des méthodes ultra précises mais c'est le problèmephysique  qui te dira quelle méthode adaptée car telle précision nécessaire.  
 
Une erreur de 2 cm sur 5 km est beaucoup moins grave qu'une erreur de 2 cm sur 5 cm...

non, mes mesure sont à une precision de 10^-4 mm donc très précise
 
Donc finalement, j'en pense quoi?

Il y a un juste milieu, prendre un polynome de degré trop bas te donnera de faux résultats au même titre que de prendre un polynome de degré trop haut.  
 
Je me rappel plus de mes cours sur les polynomes d'extrapolation de lagrange mince    
 
EDIT: un instant j'arrive  

oui; ce qu'il y a , c'est qu'avec la méthode algébrique, je trouve que le meilleur degré est 10, et visuelement, le degré 1 est trop imprecis.
 
De plus, je dois pondérer une certaine partie de la courbe qui doit etre très précise, donc ça ma conforte dans l'idée d'un degré 10
 
bonh benh j'attends ton avis obi one

Bon me revoilà!!  
 
ça fait du bien de se remettre aux maths !! j'ai pas arreté depuis ce matin    
 
 
Le fait que le polynôme du dixième degré donne une meilleure approximationest facile à montrer.
 
Ce polynôme à 11 coefficients qu'il peut adapter aux données, il peut donc varier suffisamment pour mieux suivre les points de ta courbe.
 
Par contre, est-ce que tes points sont connus avec une précision infinie ?
J'en doute et en essayant d'obtenir la meilleure approximation, tu reproduis les aléas de tes mesures.
 
Dans ce genre de cas, la plupart du temps, tu aura des conseils pour choisir un modèle qui est moins bon au sens des moindres carrés mais qui est plus simple, d'où la remarque de l'ingénieur.
 
Au final, si tu ne connaîs pas la forme algébrique de ton ensemble de points, tu dois te fier à l'allure du graphique, si tu précises toi-même qu'elle ressemble à une droite, c'est qu'il s'agit du modèle le plus simple permettant de représenter ton nuage de points.
 
Maintenant, un modèle commence à devenir vraiment mauvais quand r²< 0,7 au sens des moindres carrés.
 

Pour mieux comprendre, voyons un exemple qui exagère le phénomène :
 
Si tu as (n) points expérimenteaux et que tu prends un polynôme de degré (n+1) la courbe représentative passera exactement par les n points, sans auncune erreur. L'écart quadratique moyen sera donc égal à 0 : on ne peut pas mieux faire pourrait-on croire, ce qui serait une grâve faute de compréhension !
 
Pourquoi ? Les points expérimentaux étant eux-mêmes entachés d'erreurs, le polynôme (soit-disant parfait) contient en fait ces erreurs, puisqu'on l'oblige à passer exactement par des points inexacts. Pour réussir ce tour de force, le polynôme est tel que, en général, sa courbe représentative prend une forme "ondulée" entre les points sur lesquels il passe exactement. Les ondulations peuvent être de très grande amplitude. Ainsi, bien qu'avec une erreur nulle relativements aux points expérimentaux, on a un résultat très loin de la réalité, pour ne pas dire complètement faux du point de vue pratique.  
 
Pour prendre une façon de parler très terre-à-terre, si par exemple tes points expérimentaux sont connus avec une précision absolue de 2%, le fait d'obtenir un meilleur écart quadratique moyen, par exemple 1%, signifie qu'il y a trop de paramètres ajustables dans la fonction, donc un polynôme de degré trop élevé. Il vaudrait mieux prendre un polynôme qui donne un écart quadratique moyen de 3 ou 4% : la courbe représentative passerait entre les points en "effacant" un peu leur dispersion et pourrait ainsi, donner une meilleure représentation de la réalité.  
 
N'hésite pas si tu as une autre question!

le probleme que j'ai dit, c'est qu'il y a une partie de la courbe qui n'est pas une droite, une sorte d'artefact qui doit etre parfaitement modélisé, c'est pour cela que je dois pondérer cette partie ( avec la méthode décrite dans le lien du mon premier post), donc une droite est clairement insufisante dans mon cas car en plus, j'aurais le plus souvent besoin de données au sein de cet artéfact, donc selon moi, mon poly de degré 10 reste le meilleur
 
T'en pense quoi avec ce nouvel élement que je pense que tu n'avais pas vu ds mon post précédent
 
Je te remercie obi one, sympa à toi
 
 

ptêtre qu'il vaudrait mieux une fonction polynomiale par morceaux alors    
 
on t'as imposé une approximation polynomiale ?
dans quel cadre fais-tu cette étude ?

 
J'en pense que ce n'est quand même pas la bonne démarche.
Il faut être pragmatique :
 
Si l'expérience montre qu'il exite deux domaines, chacun modélisable correctement par une fonction distincte de l'autre, appliquons indépendamment à chacun d'eux la méthode des moindres carrés avec la fonction qui lui convient.
Bien entendu, si l'étude de modélisation avait permis de trouver un loi plus générale, donc une fonction unique plus sophistiquée couvrant correctement les deux domaines, ce ne serait pas pareil. Mais il semble que l'on n'a pas trouvé une telle loi. Donc on fait avec ce que l'on a.
 
Si on n'en reste pas à une vision théorique, un praticien dirait que le pire est de mettre trop de paramètres ajustables, ce qui fait falacieusement croire à une meilleure précision, alors qu'en général cela conduit, au contraire, à des erreurs plus importantes pour les valeurs intermédiaires entre les points connus.