L'exercice est a priori assez simple, mais j'ai pas du voir le truc qui permet d'avancer donc je coince. Si une bonne âme pouvait me mettre sur la voie ce serait sympa
 

 
 
La première question, pas de souci particulier. En revanche la deuxième je coince carrément. La classe d'équivalence de x c'est l'ensemble des images de x par R. Je comprends de quoi il s'agit, mais concrètement je vois pas trop comment m'y prendre  

 
Bah xlny=ylnx équivaut à lnx/x=lny/y. Autrement dit la classe d'équivalence de x est l'ensemble des y tels que lnx/x=lny/y. Et quand tu traces la fonction correspondante (ou plutôt quand tu étudie ses variations) tu repères dans quelle zone il y a plusieurs points de même ordonnée et leurs abscisses forme une classe d'équivalence(après je vois pas trop à quoi ressemble la courbe et je sais pas trop à quel point la fonction s'inverse aisément , donc jsais pas à quel point ça permet de conclure.... mais ce dessin permettra d'y voir plus clair)

lnx/x=lny/y j'y étais arrivé. La fonction est strictement croissante sur R+. Mais je vois pas comment inverser ce truc (je précise que je suis un peu une truffe en maths et que j'en ai pas fait depuis le bac il y a 15 ans. Ceci explique sans doute cela)
Quoi qu'il en soit merci pour la réponse, je vais continuer à chercher

La fonction est strictement croissante sur R+? Alors pour chaque x "lnx/x=lny/y" signifie "y=x", ie les classes d'équivalence sont réduites à un point.
 
Une inversion n'aurait été nécessaire qu'en cas de variations non monotones: la fonction pourrait passer plusieurs fois par la même valeur, et il faudrait pour quel abscisse le changement "on passe par des valeurs qu'on a déjà vues"(classes d'équivalences contenant plusieurs éléments)/"ah on découvre de nouvelles valeurs" s'opére (ce qui n'est pas forcément fourni par le seul tableau de variation). Comme je sais pas si c'est très clair je fais un exemple de graphe où les points en vert correspondent à des points dont les abscisses appartiennent à des classes d'équivalence réduites à un point (la dite abscisse justement), les points en bleu même chose pour des classes à deux éléments (il y a deux points pour la même ordonnée) et les points en rouge même chose pour des classes à une infinité d'éléments:
 
 
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/      \
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(il devrait y avoir un point rouge lorsque la courbe redescend , au niveau de la ligne rouge)
On remarque que les abscisses de tous les points de changement de couleur sont données par un tableau de variations de la fonction, sauf le changement bleu->vert qui nécessite de trouver pour quelle abscisse la courbe repasse par la même ordonnée qu'au départ lors de sa décroissance.
 
Pas très clair désolé mais on est pas dans ce cas la si cest strictement monotone

Ok, merci pour l'explication
 
En fait j'ai fait une boulette en dérivant, la fonction est strictement croissante sur ]0,e[ puis strictement décroissante sur ]e,+infini[
La dérivée s'annule et change de signe pour x=e
 
Les limites de la fonction sont -infini en 0 et 0 en +infini, et elle atteint un maximum pour x=e
 
Du coup avec tout ça je devrais réussir à trouver mes classes d'équivalence (1 ou 2 éléments selon la valeur de x si je me suis pas trompé en étudiant ma fonction)