equa diff

equa diff - Aide aux devoirs - Emploi & Etudes

Marsh Posté le 03-06-2007 à 20:28:00    

salut tout le monde, j'ai un petit probleme pour la résolution d'un exercice de maths:

 

"Soit l'équation différentielle y'=2-(y^2)ou y et est une fonction reelle de la variable tet y' la dérivée de y par rapport à t.
1) Donnez les deux solutions particulieres evidentes de cette equation différentielle

 

REPONSE: racine de 2 et -(racine de 2)

 

2) Indiquez de maniere précise les différentes étapes du calcul permettant d'obtenir la solution de cette équation vérifiant la condition initiale y=yo à t=0 (on ne demande pas d'effectuer les calculs).

 

REPONSE: c'est la que je coince
dy/dt = 2-(y^2)
dy= dt (2-(y^2))

 

je sais qu'il faut avoir dy/dt (enfin je pense)  mais comment faire puisque y est au carré ?

 

Merci de bien vouloir m'aider en me donnant des indications
:)


Message édité par jarod93 le 03-06-2007 à 20:28:22
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Marsh Posté le 03-06-2007 à 20:28:00   

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Marsh Posté le 03-06-2007 à 21:41:40    

Indication : 2-f²=(sqrt(2)-f)(sqrt(2)+f)
 
Solution complète :
 

Spoiler :


 
Soit f une solution dérivable sur un intervalle I de y'=2-(y^2) (E) . f est continue et donc l'ensemble des éléments de R tels que f(x) <> sqrt2,-sqrt2 , égal à l'image réciproque par f du complémentaire de {-sqrt2,sqrt2} qui est ouvert, est ouvert, donc réunion d'intervalles ouverts de la forme ]a,b[ avec a<b.
 
Soit un intervalle ouvert tel que f soit solution de (E) et tel que f n'atteigne jamais sqrt(2) et -sqrt(2).
Alors sur J : f'/(f-sqrt(2))(f+sqrt2))=-1 <=> (f'/(f-sqrt2)-f'/(f+sqrt(2))=-2sqrt(2)
 
<=> f-sqrt(2)=(f+sqrt(2))exp(-2sqrt(2)t+c)
<=> f(1-exp(-2sqrt(2)t+c))=sqrt(2)(1+exp(-2sqrt(2)t+c))
<=> c < 2sqrt(2)a ou c>2sqrt(2)b et f=sqrt(2)(1+exp(-2sqrt(2)t+c))/(1-exp(-2sqrt(2)t+c))
 
La condition f(0) = y0 entraine que I doit contenir un J centré en 0 et que y0(1-exp(c)) = 1+exp(c)
 
soit y0>1 ou y0 <-1 et c = ln((y0 -1)/(y0+1)) les intervalles sur lequels sont définies les solutions maximales sont alors d'après ce qu'on a remarqué précédemment pour les conditions sur c :
 
]c/(2sqrt(2);+inf[ et ]-inf, c/(sqrt(2))[


Message édité par Profil supprimé le 03-06-2007 à 21:42:25
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