Soit f une solution dérivable sur un intervalle I de y'=2-(y^2) (E) . f est continue et donc l'ensemble des éléments de R tels que f(x) <> sqrt2,-sqrt2 , égal à l'image réciproque par f du complémentaire de {-sqrt2,sqrt2} qui est ouvert, est ouvert, donc réunion d'intervalles ouverts de la forme ]a,b[ avec a<b.
 
Soit un intervalle ouvert tel que f soit solution de (E) et tel que f n'atteigne jamais sqrt(2) et -sqrt(2).
Alors sur J : f'/(f-sqrt(2))(f+sqrt2))=-1 <=> (f'/(f-sqrt2)-f'/(f+sqrt(2))=-2sqrt(2)
 
<=> f-sqrt(2)=(f+sqrt(2))exp(-2sqrt(2)t+c)
<=> f(1-exp(-2sqrt(2)t+c))=sqrt(2)(1+exp(-2sqrt(2)t+c))
<=> c < 2sqrt(2)a ou c>2sqrt(2)b et f=sqrt(2)(1+exp(-2sqrt(2)t+c))/(1-exp(-2sqrt(2)t+c))
 
La condition f(0) = y0 entraine que I doit contenir un J centré en 0 et que y0(1-exp(c)) = 1+exp(c)
 
soit y0>1 ou y0 <-1 et c = ln((y0 -1)/(y0+1)) les intervalles sur lequels sont définies les solutions maximales sont alors d'après ce qu'on a remarqué précédemment pour les conditions sur c :
 
]c/(2sqrt(2);+inf[ et ]-inf, c/(sqrt(2))[