Bonjour,
j'ai un petit problème avec un exercice de math  (plus particulierement vers la fin)
 
Soit 0<k<e et f la fonction variable réelle définie sur R par f(x)=(2-x)e^x -k
 
1.Determiner les limites de f en +et- infini
 
2.Caluler f'x et en déduire les variations de f. Calculer f(1)
 
3.établir que l'équationf(x)=0 admet 2 solutions:
-l'une Beta(k) appartenant à ]1;+inf[
-l'autre Alpha(k) appartenant à ]-inf;1[
et  
montrer que:
exp(alpha(k))-k(alpha(k))=(exp(alpha(k))-k) (alpha(k)-1)
De même pour beta(k) : exp(beta(k))-k(beta(k))=(exp(beta(k))-k) (beta(k)-1)
Determiner une valeur approchée à 10^-1 près de alpha(1), beta(1) et beta(2)
(Cette question, je vous avouerais que je n'y comprends absolument rien  )
 
4.Préciser le signe de f(x) suivant les valeurs de x
 
Voilà..je sais ça donne pas envie de le faire quand on voit la longueur..  mais bon..si une âme charitable est disposée à m'aider...  
Je précise ce n'est pas tout l'exercice!!!  Juste la question 3 à savoir :
 
montrer que:
exp(alpha(k))-k(alpha(k))=(exp(alpha(k))-k) (alpha(k)-1)
De même pour beta(k) : exp(beta(k))-k(beta(k))=(exp(beta(k))-k) (beta(k)-1)
(je cherche en partant d'un membre et/ou de l'autre mais pas moyen de satisfaire cette egalité...et j'en ai besoin pour la suite donc c'est important! )
 
Determiner une valeur approchée à 10^-1 près de alpha(1), beta(1) et beta(2)(2 uniques solutions..qu'est ce que béta(2)?!!!!  
(Cette question, je vous avouerais que je n'y comprends absolument rien  )
 
et le signe de f(x) je trouve positif sur ]-infini,2[ et negatif sur ]2, + infini[  

Pour démonter la première égalité (exp(alphak)-k*alphak ...), tu pars du membre de droite. Tu as :
(exp(alphak)-k)*(alphak-1) = (alphak-1)*exp(alphak) - k*(alphak-1) : on développe juste
Or tu sais que alphak est tel que (2-alphak)*exp(alphak)-k=0, car alphak est solution de l'équation f(x) = 0,
d'où (1-alphak)*exp(alphak) + exp(alphak) - k=0
<=> (alphak-1)exp(alphak) = exp(alphak) - k
En utilisant cette égalité dans l'équation obtenue au dessus, tu trouves bien ce qui est demandé.
 
Pour l'équation en betak, c'est la même chose.
 
Pour déterminer une valeur approchée à 10^-1 près de alpha(1), beta(1) et beta(2), tu remplaces k par la valeur donnée (ici k=1 ou k=2) dans les égalités que tu viens de démontrer, et tu les résouds numériquement (ie tu demandes à ta calculatrice de te trouver des expressions approchées).
 
Le signe de f dépend des endroits où f s'annule, donc dépend de alpha(k) et beta(k) ... ils doivent donc forcément apparaître dans les bornes des intervalles dans lequels f est positive ou négative.

 
 
Si ca se trouve, t'as jamais rien compris   cette année bien sûr