Chapeau à celui qui saura résoudre ce problème :
 
Soit Sp,n = 1^p + 2^p + ... + n^p
 
On a montré que S3,n = (S1,n)²
 
Voici le problème :
Soit p un entier naturel tel que pour tout n entier naturel, il existe un m entier naturel tel que Sp,n = m²
On veut montrer que p=3.
 
Avis aux pros de l'arithmétique...
 
Aide : il paraît qu'on peut utiliser le fait que si pour x et y entiers naturels, x divise 2^y, alors x est aussi une puissance de 2. Mais franchement je ne saisis pas le rapport..

Ca ressemble au théorème de Fermat

Allez, je te donne un indice:
Il suffit que tu montre que 2^p+1=m² n'est possible que pour p = 3....

Ah ça me rappelle mes belles années de Deug ça

Oui, c'est d'ailleurs plus un exo style "deug" que style "prépas".

 
râté ! C'était des exos pris dans les bouquins de prépa Il n'y a aucune différence

Merci beaucoup, effectivement avec ce conseil on peut montrer l'univité de p !

Ah bon, je croyais que les exos de deug étaient plus interessants!

 
bof question de point de vue loooool

Bon ben, peux tu poster la solution, histoire d'en faire profiter tout le monde?

Bon comme personne ne répond je donne la solution.
 
Supposons qu'il existe p <>< 3 tel que S(n,p)=m², la propriété est vrai pour n =2 donc:
1+2^p=m² soit 2^p=m²-1=(m-1)(m+1)  
ce qui implique que m-1 et m+1 sont de la forme 2^p  
et comme m-1 < m+1, m+1=2^k(m-1) soit m=(2^k+1)/(2^k-1)=1+2/(2^k-1) qui n'a une solution entière que pour k=1 et m = 3
Donc 1+2^p=3²=9 soit 2^p=8, p = 3 absurde.
 
Par conséquent S(p,n)=m² que pour p = 3.