Bonjour à tous !!!
 
Voilà une petite démonstration de maths qui me pose un peu problème.
Si vous pouviez m'aider !
 
Montrez que n(n+1) est pair.  
Ou encore (formulé differement) Montrez que le produit de deux nombres consécutifs est pair.
 
Merci bcp ! @ bientôt.

c'est une blague ?

il se passe quoi si n est pair ? et si n est impair ?

 
Et comment est definit un nombre paire?

Pour tout p dans N (ou Z), n = 2p est pair (c'est un multiple de 2) et n = 2p+1 est impair (le reste de sa division par 2 est 1)

A moins que tu prouves qu'avec les nombres de la forme n=2P et n=2P+1 tu recouvres tout Z, ce n'est pas vraiment une définition d'un nombre pair, mais plus une caracterisation d'un certain nombre d'éléments de Z.
 
Un nombre pair est tout simplement un nombre entier dont le reste par la division par 2 est nul. C'est pas loin de ce que tu ecris, mais c'est dans l'autre sens : "n dans Z est pair ssi il existe p dans Z tel que n=2p".

2p c'est un nombre pé-paire
 
Ok je sors

En partant de la propriété :

 
Soit un nombre n dans Z:
si n est paire,  
   il existe un entier q dans Z tel que n=2q.
   n(n+1)= 2q (2q+1) = 2 [q(2q+1)]. Soit p= q(2q+1) dans Z, on a n(n+1)=2p. Donc n(n+1) est pair.
si n est impaire,  
   n+1 est paire donc il existe un entier q dans Z tel que n+1=2q.
   n(n+1)= n (2q) = 2 nq. Donc n(n+1) est pair.

Si tu tiens à faire un truc rigoureux (ce qui vu le nivequ de la question est quand même la moindre des choses, sinon toute la démo ne sert à rien), ce serait bien d'expliquer d'où tu sors ce que j'ai surligné en gras. Trop facile sinon.

Ha oui, c'est pas faux.
 
Si n est impaire, il existe un entier p dans Z tel que n=2p+1.
n+1 = (2p+1)+1 = 2p+2 = 2(p+1). Donc n+1 est paire.

Ca marche aussi pour -1 et 1, je ne sais pas où tu as vu un problème. En revanche, ce que tu as écrit suppose que tu connaisses la définition d'un nombre impair (ce que j'ai mis en gras), ce dont on n'a pas parlé pour l'instant.
 
Je sais je suis chiant, mais tout le truc quand on revient à des exose de base comme ça c'est d'oublier tout ce qu'on prend pour aquis et de se baser sur l'énoncé, sinon on ne répond pas vraiment mieux à l'exercice que de dire "ben tout le monde le sait" (là j'exagère puisque toi tu fais un effort, mais ce genre d'exercice n'est pas si évident qu'il y paraît à premier abord, et beaucoup ne savent en fait pas prouver des choses qu'ils considèrent "évidentes" ).

 
Un peu... mais c'est vrai qu'il est dur de ce mettre au niveau de l'exercice.
 
Selon mon souvenir, on definit la parité par la définition :  
Un nombre n est pair ssi il existe un entier q dans Z tel que n=2q. Sinon n est impaire.

Meme quand ça, ça reste non évident que cette définition implique que "si n est impair, il existe un entier p dans Z tel que n=2p+1"  

Et moi qui essayait juste de clore ce post abandonné de son auteur avec la réponse...
 
Aucune idée sinon, et toi?

Pour compléter ta démo, et si on part du fait qu'on a tout oublié sur les nombres pairs et impairs si ce n'est la définition que tu as reprise des nombres pairs ( "n dans Z est pair ssi il existe p dans Z tel que n=2p" ), il suffit de démontrer que tout nombre entier s'écrit soit sous la forme n=2p (avec p dans Z) et est dans ce cas là pair d'après la définition, soit s'écrit n=2p+1 (il n'est pas nécessaire d'introduire le concept de "impair" pour l'exercice).
 
Un petit raisonnement par récurrence fonctionne bien :
 
- n = 0 : ça marche avec p = 0 (0 = 2 * 0 => 0 est pair)
 
- si c'est vrai pour n-1, alors :
      - soit il existe p dans Z tel que n-1 = 2p ==> n = 2p+1
      - soit il existe p dans Z tel que n-1 = 2p+1 ==> n = 2(p+1) et (p+1) est élément de Z
==> la récurrence est faite (il faudrait aussi la faire dans l'autre sens pour montrer que ca marche aussi bien avec les entiers négatifs, mais j'ai la flemme de réécrire la même chose avec un signe moins).
 
A partir de là tu peux reprendre ta démo et ça marche très bien.
 
Tout se fait   .

Je ne comprends pas ta récurrence. Tu poses aussi qu'un entier est égal soit a 2p, soit a 2p+1. Quelle est la différence?

Je ne le pose pas, je le prouve. C'est la (petite) différence.

Tu ne poses pas qu'il existe un p tel que n-1=2p+1 et n-1=2p ?

Non, ça c'est l'hypothèse de récurrence ( et c'est "ou", pas "et" ).
 
Petit rappel de la récurrence :
 
- on prouve que c'est vrai pour n=0 (ou 1, ou tout autre nombre à partir duquel on veut prouver la propriété)
 
- on suppose pour n >=1 que c'est vrai pour n-1 (ce que j'ai fait) et on prouve que c'est alors vrai pour n.
 
Le raisonnement par récurrence vient alors de prouver que c'est vrai pour tout n positif. Je n'ai rien posé !

Soit.
Mais, n'étant pas convaincu, je ne m'avancerai pas la dessus.

Petite question : tu sais ce qu'est un raisonnement par récurrence ?

En effet, ca marche. Je n'avais pas lu avec attention.
 
Les récurrences m'ont toujours été antipathiques. Je préfère la démonstration par modulo.

Par recurrence :
initialisation1: pour n=1 on a 1x(1+1)=2 <--- paire
hérédité1: Supposons que c'est vrai pour p :
              p(p+1) est paire  
     donc   p^2+p est paire
              p^2+3p est paire car par recurrence on a:
                                                                         (initialisation2: pour n=1 on a :2n=2  ; 2x1=2
                                                                         hérédité2: on suppose que c'est vrai pour p : 2p est paire
                                                                         2p+2 est paire car on ajoute 2 et donc ca reste pair.  
                                                                         2p+2=2(p+1)  donc on peut dire que lorsque on ajoute 2p  
                                                                          le résultat reste pair!  )              
              p^2+3p+2 reste paire et p^2+3p+2=(p+1)[(p+1)+1]
 
DONC puisque si c'est vrai pour p c'est vrai pour (p+1) on peut dire que c'est vrai pour tout n car ca marche pour n=1