je cherche quelqu'un qui connait le principe de fonctionnement d'un relais de téléphone mobile, particulièrement quelqu'un qui si connais en manipulation d'onde radio

Qu'est ce que tu veux savoir précisément

Le système GSM est tribande, 900, 1800 et 1900 Mhz.
Il est numérique et fonctionne en TDMA (Time Division Multiple Access) autrement dit accès multiple à répartition dans le temps).
C'est un système ouvert et cellulaire mais crypté, tu ne peux intercepter des appels avec un simple scanner par exemple.
Le système cellulaire est complexe mais permet à un utilisateur d'appeler et d'être appelé n'importe où sans aucune limite si ce n'est le réseau en lui même. En gros les appels transitent par les relais que ton mobile active. Ces relais ne sont pas connus au hasard par le réseau. Ils sont donnés sous forme de codes complexes par ton portable au réseau de façon régulière et dans trois conditions :
- Dès que ton portable change de coordonnées de localisation (quand tu te déplaces)
- Systématiquement toutes les 24 à 48 h.
- Lors de la mise sous tension et de la mise hors tension de ton mobile.
La signalisation des informations de localisation est donée au réseau sous la forme de l'envoi des bursts (une trame de 148 bits) une fois toutes les 4,616 ms ce qui fait une fréquence de 217 Hz, c'est ce qu'on entend quand le portable est à proximité d'un appareil électronique ou électrique par exemple. Le réseau stocke ces informations dans le VLR (Visitor Location Register), base de données relatives à l'utilisateur "visiteur". Une fois ces coordonnées connues, tous les appels vers ton mobiles sont routés directement vers le relais activé par ton mobile, ce qui permet de gagner du temps au niveau du routage des appels et supprime le phénomène de série de bips de recherche comme dans l'ancien temps.
Le système est TDMA, c'est à dire en gros chaque utilisateur d'un portable au moment d'un appel se voit doté d'une trame de temps (il y en a 8 par fréquence). Par exemple pour le 900 Mhz, les fréquences sont de 890 à 915 Mhz dans le sens montant (quand tu appelles) et de 935 à 960 Mhz dans le sens descendant (quand tu reçois un appel), les fréquences sont espacées de 45 Hz. Ca en fait des fréquences !!! Le principe TDMA fait que chaque communication est scindée en trames de 148 bits, envoyée une fois toutes les 4,616 ms au réseau, ton pote pareil, mais a une autre trame que la tienne et de ce fait, aucun risque de brouillage. Le réseau est capable de les distinguer pour les envoyer aux correspondants et là les trames sont reconstituées pour reformer la phrase avec un traitement de signal on ne peut plus complexe !!! (par exemple si tu dis à ta copine "j'arrive", la phrase est numérisée et transformée en bits, ils sont envoyés au réseau par trames allouées par le réseau. S'ils dépassent les 148, ils seront envoyé en plusieurs morceaux, le premier envoi supposons ne contient que le "j'arr", le second contiendra "ive" par exemple sera envoyé avec 4,616 ms en retard par rapport au premier envoi, mais en restant sur la même trame, par exemple la 0). Pareil pour les textos et MMS. Pendant une communication, chacun garde la même trame, si tu commences par la 0, tu la gardes jusqu'à ce que tu racroches ta com, ton pote a la 1 par exemple. mais lors d'une autre com, tu peux très bien avoir la 2 connectée sur une autre fréquence.  
Les relais de téléphonie mobile sont des véritables armoires de traitement de signal et possèdent toutes les fréquences des trois bandes.
La modulation utilisée en GSM est de type GMSK (Gaussian-filered Minimum Shift Keying) pour Modulation à saut de phase minimum avec filtrage Gaussien. C'est à dire une modulation numérique à saut de phase minimal, le filtrage est de type de Gauss permettant d'affiner le pic de fréquence et ainsi de réduire l'espace inter-fréquence et on peut comme cela mettre le maximum de fréquences possibles avec un risque de brouillage et d'erreurs binaires très faible. En gros, chaque saut de phase s'oppère en fonction de l'état binaire du signal. Il y en a 2 puissance n états avec n qui désigne le nombre de bits. En GSM on se limite à n = 3, cela fait 8 états binaires donc 8 sauts de phase (cela fait 000, 001, 010, 100, 101, 110, 111, 011). Par exemple à l'état 001, le déphasage est de pi / 4 par rapport au signal de départ, à 010 c'est 3 pi /4 (ce sont des exemples, je ne peux te donner la précision).
En plus de tout ça, les communications sont chiffrées avec des clés de chiffrement très complexes ...
Bon courage

c juste pour faire un amplificateur, il dois juste recevoir une bandes de fréquence, l'amplifier et la renvoyer vers une autre antenne et cela dans les 2 sens.

Un ampli pour ton antenne ?

ouais en quelque sorte : il ne dois pas être brancher uniquement sur portable, il doit capter toute la bande de fréquence des portables, le 900 MHz suffi, l'amplifier et la renvoyer vers une autre antenne ou multiplexer le tout vers la même antenne