Fractale est un mot inventé par Benoît Mandelbrot en 1974 sur la racine latine fractus qui signifie brisé. Fractal était au départ un adjectif : les objets fractals. On nomme fractale (ou fractal, nom masculin beaucoup moins usité que le féminin fractale) une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques.
 
Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :
 
    * il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes,
    * il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels,
    * il est exactement ou statistiquement autosimilaire c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties. C'est une métonymie d'une partie pour le tout.
    * sa dimension de Hausdorff est plus grande que sa dimension topologique. Pour exprimer la chose clairement, un réseau d'irrigation est un déploiement de lignes (1D) qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (2D). La surface du poumon (2D) y est repliée en une sorte de volume (3D). Bref, les fractales se caractérisent bien par une sorte de dimension non-entière.
 
 
 
Grâce au calcul des ordinateurs, ont peut dévellopper de belles images fractales.
 

 
Donc tout objet fractal est une suite de nombre autosimilaire.
Voici un petit exemple que j'ai crée : (est-ce bien autosimilaire     ) :
 
1*
1
2*
1
2*
2
5*
1
4*
2
1*
2
7*
5
6*
1
5*
4
2*
2
1*
1
5*
2
2*
7
1*
5
2*
6
2*
1
5*
5
7*
4
 
Chaque nombre se répète ainsi à l'infini.le premier chiffre (1) se répète au 2ème chiffre (1) puis au 4ème ainsi de suite jusqu'à l'infini soit tout lune suite de 2^n chiffres.
 
MAis comment détermine-t-on les conditions initiales (chiffre étoilés) que j'ai pris par hasard??
JE suppose qu'il faille bien choisir les conditions initial pour créer d'aussi belle figure...

C'est pas très clair, je ne comprend ni ton exemple, ni ta question.
Je me suis pas mal interessé aux fractales il fut un temps pourtant, alors peut être que ce n'est pas très clair dans ton esprit ?
Pour info, voilà un lien sympa pour une introduction aux images fractales et qui te conduira vers pas mal de liens sur le sujet : http://john.bonobo.free.fr/fractal/doc.php

J'ai pas trouvé de bonne définition, c'est quoi une suite autosimilaire ??
Auriez-vous un exemple simple ?

p

J'ai trouvé ça sur wikipedia, ça ne répond pas completement à ta question, mais presque : http://fr.wikipedia.org/wiki/Autosimilaire voir http://en.wikipedia.org/wiki/Self-similar
 
En fait, on ne devrait pas parler de suite autosimilaire, mais d'objet, ou de forme autosimilaire.

 
Merci beaucoup !
 
oui quand on parle de fractal c'est des formes autosimilaire.
 
Oublions les fractals, mais une suite autosimilaire, quelqu'un a déjà entendu parlé ? J'ai pas trouvé grand chose sur le net. Quelqu'un aurait un autre exemple de ce que j'ai cité dans mon post plus haut ?

C'est la même idée. Très informellement, imagine dessiner un graphique de la suite et zoomer sur une partie. Sous certaines conditions, celle-ci aura les mêmes propriétés statistiques qu'avant le zoom.

 
C'est le principe du choux fleur ça, non?

 
Le choux a une structure approximativement fractale, donc autosimilaire (c'est une approximation car l'autosimilarité n'y vaut que sur un intervalle d'échelles limité).  

oui, mais auriez-vous un exemple de nombre une suite de chiffre fractale ?

Tiens une idée comme ça, si tu prend le flocon de Von Koch, en ne prenant en compte que les points formant les segment du contour, ou de la partie supérieur du contour :
    / \
*-     -*
Tu prend comme suite la suite des nombres complexe correpsondant à chaque point dans le plan complexe et boum, tu dois avoir une suite "autosimilaire".
xantox confirme ?

Non il peut s'agir d'une suite ordinaire, par exemple qui représente le changement d'une grandeur dans le temps. La condition d'autosimilarité est ici l'invariance de la distribution de probabilités au changement d'échelle (en pratique on vérifie que la moyenne et la variance restent les mêmes en zoomant plusieurs fois). Un exemple de suite autosimilaire est la suite Q :  
 
f(n)=f(n-f(n-1))+f(n-f(n-2)) pour n>2
f(1)=f(2)=1  
 
Le trafic sur un réseau informatique a aussi été observé approximativement autosimilaire.

OK    
En fait, il faut définir en premier lieu un critère de similarité et doit pouvoir trouver alors pas mal d'exmple.
mon exemple est donc pas super, un peu compliqué et fait mal comprendre le concept en s'appuyant directement sur une image fractale.  
Mais il doit pas être complement faux pour autant

Oui ton exemple n'est pas complètement faux, il revient à la représentation géometrique d'un objet autosimilaire (ex. un cube est autosimilaire car il peut être composé de cubes composés de cubes..), mais je voulais indiquer que techniquement on parle de suite autosimilaire sur une base statistique (par ailleurs une suite n'est pas tout à fait adaptée à représenter une figure géometrique continue car elle est indexée sur les nombres naturels).

Tiens d'ailleurs, ça sort un peu du sujet initial, mais je me permet une petite question relative à mon exemple (en rebondissant sur  "par ailleurs une suite n'est pas tout à fait adaptée à représenter une figure géometrique continue car elle est indexée sur les nombres naturels)" ): tel que je l'ai donné, cela semble être bien une suite (je veux dire indicé par |N), mais en fait, si l'on considére la courbe de von koch complète, donc après une infinité d'itération, le nombre de point formant les "segments" est il dénombrable ?
A priori, je dirais oui, puisqu'à chaque n-ième itération je rajoute un nombre fini de point, dépendant de mon indice n. Ceci dit, ce nombre de point ajouté augmente à chaque itération, si bien qu'à l'infini, j'ai en quelque sorte une puissance de |N points. D'où un passage vers le continue.
Une autre manière de voir, pour tout "espsilon", je peux trouver un indice n pour lequel à la n-ième itération dans la construction de la courbe, j'ai un point Zn tel que la distance Zn, Z1 soit plus petite que "epsilon", puisqu'à chaque itération, je divise le premier segment. Donc ma série de point serait continue, donc, ce n'est pas une suite indicée par |N.  
Qu'en est il, je fais une erreur dans mon raisonnement, ou on passe bien dans ce cas du dénombrable apparent au continue  ?
 

Le nombre de points n'est pas dénombrable, démonstration, suppose d'avoir construit une suite qui représente la courbe et qui est donc dénombrable, pour montrer que cette suite ne représente pas la courbe il suffit de prendre deux termes successifs de la suite, qui représentent donc un segment au lieu qu'une courbe (dans une courbe de Koch, la distance entre chacun de ses points est infinie). Plus formellement, on devrait pouvoir construire une bijection entre la courbe de Koch et l'expansion binaire d'un intervalle réel.

OK, tu veux dire distance infinie au sens du "chemin à parcourir" (pas le sens traditionnel du type ||Zn - Zn-1||), effectivement vu comme ça, c'est très clair  
 
En revanche je ne comprend pas ce que tu entend par "expansion binaire d'un intervalle réel" ?

Oui c'est bien la distance sur la courbe, comme si c'était une route,
 

Cela veut dire en gros, que pour identifier un point précis de la courbe on pourrait utiliser une séquence binaire infinie, par ex. 01-00-10-.. qui pourrait signifier 01=on est sur le côté 1 de la figure en iteration 0; 00=on est sur le côté 0 du côté 1 en iteration 1; 10=on est sur le côté 2 du côté 0 du côté 1 en iteration 2; etc. Cette séquence infinie de chiffres identifie aussi un nombre réel, et si de plus on la precède par un "0," on obtient un réel compris dans l'intervalle [0,1].

OK c'est très clair, merci

merci faut que je relis, j'aurais surement des questions.

 
 
Quelqu'un pourrait me donner une suite de nombre autosimilaire ?

L'auto-similarité peut etre définie, (à mon avis, car je ne suis pas du tout spécialiste de la question), par une propriété d'invariance par changement d'échelle.
 
Cette propriété se retrouve dans de nombreux exemples physiques :
 
* les trajectoires Browniennes par exemple présentent cette caractéristique d'invariance d'échelle.
 
* de même, en physique statistique, de nombreux systèmes sont invariants d'échelle lorsque l'on se place strictement à la température critique (= température séparant une phase A et une phase B).
 
Exemple: on considère un système de spins d'Ising (=spins 1D= "une flèche" qui peut être vers le haut ou vers le bas) en intéraction (avec une constante de couplage positive qui tend à ramener tous les spins dans le même sens).
 
A cette interaction qui tend à aligner tous les spins, on oppose l'agitation thermique qui elle tend à rendre les spins orientés de façon complètement aléatoire, désordonnée.
 
Soit Tc la température pour laquelle on passe d'un état ordonné à un état désordonné.
 
A T<<Tc, les spins sont ordonnés (l'ordre induit par interaction l'emporte sur le désordre thermique)
A T>>Tc, les spins sont désordonnés (le désordre thermique l'emporte)
 
Pour T=0.99Tc, les spins apparaissent au 1er abord presque complètement désordonnés (on est proche de la transition) : mais en fait, en effectuant, des zoom arrière progressifs (ce qui revient à regarder un système composé de moins en moins de spins), on finit par trouver qu'effectivement, les spins sont alignés : l'opération de "zoom arrière" est un changement d'échelle qui révèle qu'il y a bel et bien un ordre à T=0.99Tc. On n'a pas invariance d'échelle.
 
De même, pour T=1.01Tc, on voit par zoom arrière successifs que c'est le désordre qui l'emportent (les domaines où les spins sont ordonnés disparaissent). Là, encore, on n'a pas invariance d'échelle car on ne visualise pas la même chose selon la "distance depuis laquelle on observe notre système".
 
Par contre, si l'on se place à T=Tc strictement : l'image du système (domaines où les spins sont ordonnés/ ou désordonnés) est similaire quel que soit le nombre de zoom arrière effectués. Il y a ici autosimilarité, ou invariance par changement d'échelle.
 
bon, je m'arrête là, j'espère ne pas avoir débordé du sujet initial et avoir été au moins un peu compréhensible.

merci el_boucher.
 
Toi qui est fort en math je pense,moi j'ai juste bac+2.
Cette formule : z = z^2 +c
pourrais-tu expliquer ?
Z c'est quoi ?
C ??
et puis Z^2 ?

z doit sans doute designer une variable complexe le ^2 signifiant au carre (z*z quoi) et c une constante complexe

Pour admirer de belles fractales : Renderosity.com (faut s'enregistrer)

R.I.P Benoît.