Bonjour , j'ai un problème sur un Dm de math à rendre pour lundi prochain sur les produits scalaire et j'y comprend strictement rien  
le sujet :
 
1.préambule  
ABC est  un triangle.
Démontrer que, pour tout point M du plan,  
 MA . BC + MB . CA + MC . AB = 0                     (MA, BC , MB, CA, MC et AB sont des vecteurs)
 
2. Une propriété connue  
utiliser la propriété établie a la question 1. pour démontrer que les trois hauteurs d'un triangle ABC sont concourantes
 
merci de votre aide

Bonjour,
 
Pour la première question, il faut que tu décomposes MB et MC (tu obtiens donc un facteur de CA et un facteur de AB.  
Ensuite mettre en facteur ce qui peut l'être.
Et enfin, en identifiant les termes qui s'annulent, tu obtiens la solution.
 
Essaye ça, tu me diras ce que tu as trouvé

merci beaucoup, je trouve que MA . ( BC + CA + AB), soit MA . ( BC+ CB) soit MA . 0 donc que c'est nul mais par contre je vois pas vraiment comment on peut utiliser cela pour la question 2

Pose un point H comme étant l'intersection d'au moins 2 hauteurs. par exemple celles issues de A et de B.
Comme ce sont des hauteurs, la droite HA est perpendiculaire à BC. donc HA.BC = 0
 
Avec ça, essaye de démontrer que la hauteur issues de C passe aussi par le point H

Merci beaucoup j ai réussi a répondre, il me reste une dernière question bizare :  
Deux droites (d) et (d') tracées sur une feuille se coupent en un point B situé à l'exterieur de la feuille. A est un point de la feuille qui n'appartient ni à (d), ni a (d').  
 
 

Faire cette figure et construire la droite (AB). Rédiger un programme de construction.
merci d'avance.

Pourquoi question bizarre ? Parce qu'elle te propose de réfléchir ?
Alors, réfléchis. Cette question a surement un lien avec l'exercice.
 
Tu viens de redémontrer que les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes (le point commun est appelé l'orthocentre du triangle). Si tu considères la perpendiculaires (AH) à (d)  qui coupe (d') en C et la perpendiculaire (AK) à (d') qui coupe (d) en D, que sont (DK) et (CH) dans le triangle BCD et donc qu'est A ? Qu'est (AB) ?  
Cette construction n'est pas toujours possible. Il faut que les points C et D soient sur la feuille ce qui n'est pas le cas de la figure que tu proposes. Elle est impossible si (d) et (d') sont perpendiculaires, dans ce cas l'orthocentre est B.
 
Dans ces cas d'impossibilité, considère les perpendiculaires (AH) à (d) et (AK) à (d'), les triangles AHB et AKB sont rectangles. Demande-toi où se trouve le centre du cercle circonscrit à AHBK.