Hello tout le monde!
ALors voila j'ai un DM de maths pour dans une semaine, voici l'énnoncé du dernier exercice:
 
Montrez que la fonction suivante est dérivable sur R sans que sa dérivée ne soit continue sur R:
 
f(x)=x² sin(1/x) si x !=0 et f(0)=0
 
J'ai dérivé le schmilblick ca donne f'(x)= 2 x sin(1/x) - cos(1/x)
 
<HS>Loin de x=0, la courbe fait penser à la courbe d'équation y=x, ce qui voudrai dire que au voisinage de l'infini sin(1/x)=1/x  </HS>
 
Sur R* on peut dire que la dérivée est continue et existe.(composée de fonction)
 
Avec le taux d'avancement on trouve f'(0) = 0 donc dérivable sur R
 
En 0 avec th des gendarmes on trouve lim x->0  f'(x) est compris entre -1 et 1, mais comment prouver qu'elle est discontinue?
 
Peut-on trouver lim x-> 0 f'(x) de facon a trouver une autre valeur que 0 et dire que la dérivée est discontinue en 0  
ou faut il dire que la dérivée n'as pas de lim en 0 et donc discontinuité?
 
Merci pour votre aide  

tu peux considérer deux suites :  
1) x = 1/(2*n*Pi), n->infini <=> x->0
Or on a 1/x = 2*n*Pi, donc tu démontres facilement que pour ces suites de valeurs, tu as f'(1/(2*n*Pi)) = 1.
2) en considérant la suite x = 1/((2*n+1)*Pi), tu obtiens f'(1/((2*n+1)*Pi)) = -1.
Tu en déduis que f' n'admet pas de limite en 0, donc que f' n'est pas continue en 0, donc a fortiori, f' non continue sur R.