Bonjour,
 
Quelqu'un pourrait-il m'aider à une question de mon exercice de maths S.V.P ?
Je suis bloquée à la question 4.c :
 

 
Je sais que f(x) équivaut à [x/(2 ln x)] quand x tend vers +oo ssi le rapport des deux fonctions vaut 1 quand x tend vers +oo.
Mais je ne vois pas comment montrer cela .
 
Merci d'avance à celui/celle qui me filera un coup de main .

Salut ,
 
tu peux commencer par utiliser l'encadrement précédent (si x>1) pour encadrer f(x)/(x/(2lnx))
 
ensuite l'idée est d'utiliser le théorème des gendarmes.

Ok, merci !

Il y aura un peu de technique pour prouver que les termes encadrants tendent vers 1.

On peut composer par la fonction exponentielle, non ?

Je m'y attendais à celle là !
 
Avec l'idée si lim(exp(f))=l alors lim(f) existe et de plus vaut lnl dès lors que l>0
 
On peut faire plus direct et plus élégant.

Non, je voulais dire que tu trouves :
 
Quelque soit x > 1, (ln x²)/(ln [1+4x²]) <= [2 ln x f(x)]/x <= (ln x²)/(ln [1+x²])
 
Là, tu composes haut et bas par exp, ce qui donne :
 
[e^(ln x²)]/[e^(ln [1+4x²])] <= [2 ln x f(x)]/x <= [e^(ln x²)]/[e^(ln [1+x²])]
 
Ce qui équivaut à : x²/(1+4x²) <= (2 ln x f(x))/x <= x²/(1+x²)
 
Et là, on prend les termes de plus haut degré pour calculer la limite quand x tend vers +oo, et on trouve 1.

Ce n'est pas une composition par exp que tu as fait ; de plus on n'a pas  
expa/expb=a/b
 

 
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OMG... C'est tordu comme calculs tout de même !  
 
Merci bien .

Pas vraiment : l'idée est que ln(1+4x²) et 2lnx sont équivalents en l'infini ; on l'exploite c'est tout.