Un pitit probleme de maths
(J'ai pas trouvé la méthode... mais je suis sur que c'est tout pres !)
 
Alors j'ai deja fait la moitié du pb,
il faut juste que je montre que la dérivée est positive pour x = ]1 ; +infini[...
 
La dérivée : f(x) = (- sqrt(x^2 - 1) + 2*x^2 * arcsin( 1/x ))/x
 
Je sais pas trop comment virer le "arcsin".

(f^-1)' = 1/(f'of^-1)
avec f^-1 fonction reciproque de f
 
donc (arcsin(x))' = 1/(cos(arcsinx))
cos(x) = sqrt(1-sin(x)²)
cos(arsin(x))=sqrt(1-x²)
(arcsin(x))'=1/sqrt(1-x²)

ca c'est la démonstration pour trouver la dérivée de arcsin !?!
 
Mais la fonction f que j'ai donné c'était deja la dérivée...

ah je dois halluciner j'etais persuadé d'avoir vu montrer que la dérivée de arcsin est positive, je trouvais un peu sa con aussi lol!

et si tu redérives la dérivée (enfin en enlevant le /x) pour trouver les variations de la dérivée et ainsi trouver le minimum de la fonction dérivée sur [1;+oo[ que tu devrais trouver positif ?

en fait j'ai bien trouvé un truc :  
je derive deux fois la dérivé, ca fait que le arcsin se casse
 
Mais c'est vraiment vraiment lourd comme calcul, cest pour ca que je pense que doit y avoir une autre maniere!

Et tu l'as pas la fonction d'origine?

juste comme ca, la fonction dérivée de Arcsin, c'est 1/sqrt(1-x^2).
 
du coup, le numérateur est positif (quelle surprise !), et le dénominateur aussi (c'est une racine !!!! c'est magique ) :
 
bref, pour montrer que arcsin est croissante (ou que sa dérivée est positive), et ben ya strictement rien à faire...
 
tu le dis et puis c'est tout !

alors la fonction d'origine est :  
F(x) = (x^2 - 1) * arcsin(1/x)
Je suis bien d'accord avec toi el_boucher, mais ce que je cherche cest pas le signe de (arcsin)'(x), c'est le signe de la dérivée de F(x).
--> F'(x) = f(x) = (- sqrt(x^2 - 1) + 2*x^2 * arcsin( 1/x ))/x sur ]1;+infini[
 
La méthode que j'ai trouvé c'est :
 
on calcule F'''(x) qui est un quotient de polynome. Il est strictement positif,
 
alors F''(x) est strict croissante mais strict négatif,
car lim(F''(x),x=1) et lim(F''(x),x=+infini) sont négatifs.
 
alors F'(x) est strict décroissante mais strict positif,
car lim(F'(x),x=1) et lim(F'(x),x=+infini) sont positifs.
 
Et donc F(x) est croissante et positif sur ]1;+infini[,
car lim(F(x),x=1) et lim(F(x),x=+infini) sont positifs.
 
Cest lourd!

ok, je vois ce que tu voulais faire...
 
ta méthode semble fonctionner mais c'est supportable par très peu de personnes (en tout cas, pas pour moi )
 
d'ailleurs tu remarqueras que ta conlusion peut se trouver directement en regardant l'expression initiale de F(x). (en se rappellant que ta fonction est définie sur ]1;+infini[ tu aurais du donner la réponse directement à vrai dire...)
 
PS: on t'obligera jamais à faire des calculs aussi affreux

 
on sait jamais
la solution bourrine est toujours la meilleure