Hello !
A chaque fois que j'ai vu ce truc, je n'ai pas pu m'empêcher d'avoir l'impression qu'on se foutait de la gueule des imbéciles.
 
Je veux dire, la définition de cette bouteille, c'est quand même "pas de différence entre l'intérieur et l’extérieur".
-> Chez moi, c'est la définition d'une bouteille sans bouchon ... puisque n'importe quelle bouteille sans bouchon n'a plus de volume fini, it's incredible !
Notez que la bouteille de klein n'a effectivement pas de bouchon. Mettez en un (genre, un gros bouchon de liège), et paf, c'est plus une bouteille de Klein.
... Je vais exposer à Beaubourg une bouteille de klein avec un bouchon, et la légende "Pignoufs !", mais ce serait certainement mal pris.
 
Ce qui nous amène au ruban de moebius, autre merveille du style. Je veux dire : on prends une bande de papier, on inverse un bout, et on colle les bouts ensemble ... Puis on conjecture sur la magnificence d'une bande qui n'a pas de coté. (là, faut ajouter un "et ouaiiii" prononcé avec la voix de Vector)
Genre, je vais prendre une bande de papier, la plier à 90° en son centre, et plier 25 fois l'une sur l'autre les 2 bandes restantes façon accordéon, accompagné d'un . De là, on pourra ajouter une petite explication fumeuse sur l'extrapolation multidimensionnelle extensible de la curiosité ainsi produite.
 
...
 
Voilà, ca, c'est juste mon sentiment actuel.
Mais, je serais très ouvert (principale motivation du présent topic), pour me faire expliquer (si possible avec des exemples, puisqu'un seul contre exemple valable suffit), en quoi c'est à ce point génial ?
Alors, comme souvent car je suis ouvert d'esprit, je propose moi-même un début de réponse : les histoires de sciences-fictions, les projections non-réelles et la caractérisation d'espaces aux propriétés étranges (genre 1+1=0) sont devenues affreusement banales à notre époque. Mais peut-être qu'il y a quelques (centaines) d'années de cela, en des temps où l'imagination tristement terre-à-terre osait jusqu'à imaginer une créature avec des cornes dessus (ou des oreilles pointues), une telle chose était une merveille d'originalité ?

 
 
j'ai rien compris

Ironiquement, ce gif de Bush dansant n'importe quoi vient très subtilement étayer mon propos

Bonjour,
visiblement, tu n'as pas compris ce qu'est une surface car une bouteille sans bouchon, c'est un volume !
Je vais essayer d'être clair : le problème de ces concepts, c'est leur représentation.
Prenons le cas de la bouteille de verre : le volume du verre est séparé de l'air par une surface.
Cette unique surface s'étend sur toute la surface du verre, aussi bien à l'intérieur de la bouteille qu'à l'extérieur de la bouteille.
Traverser cette surface, c'est passer du milieu "air" au milieu "verre".
Mais cette surface a deux faces : la face (1) est celle que nous voyons (côté "air" ), et la face (2) est celle qui serait vue par un petit animal capable de vivre dans le verre. . .
Il est évidemment impossible de passer le (1) à (2) sans "traverser la surface".
La bouteille de Klein est une surface conceptuelle sans épaisseur, qui réalise une surface qui n'a qu'une face.
De même, pour le ruban de Moebius : sa représentation par une bande de papier est trompeuse : le papier est un volume !
Il faut imaginer une surface en forme de ruban d'épaisseur parfaitement nulle.

Wow, déjà, un super merci pour avoir apporté une réponse aussi bien détaillée et construite !
J'ai bien pris le temps de réfléchir à ta réponse, et avec l'aide de wiki, je crois avoir fini par comprendre en quoi cela était intéressant. (ou alors, je suis arrivé à ma limite de complexité qui m'empêche de retrouver des contre-exemples facilement)
 
Alors, déjà, on est d'accord, la bouteille standard sans bouchon mais avec matière, la surface de l'intérieur est bien la même que la surface de l’extérieur. (on y mets une petite fourmi - ou une colonie de champignons, elle passe de l'un à l'autre sans aucun problème).
 
Donc, je suppose que tout l'intérêt, c'est de supposer des trucs sans matière, sans épaisseur (genre, un champ de force), supposons donc.
Je saute mes errements puisque je lis que wiki "la bouteille de Klein est une surface fermée, sans bord et non orientable".
Alors, si j'ai bien supposé le coup de la bouteille sans matière, c'est une surface avec bord. (ou pas fermée si je suppose que le goulot est infiniment long)
Donc, pour comparer, faut que je ferme le goulot (un bouchon) ou que je le "branche" quelque part. Si je fais l'âne et que je le branche directement à la bouteille, j'obtiens un tore, sans intérêt donc.
 
Alors, si essaye de brancher le goulot de façon à ce que la surface intérieur soit continu à la surface extérieure, je crée un petit "pont" (on colle un bout d'une bande de papier à l'intérieur, on colle l'autre bout à l’extérieur). Et puisqu'il faut que ce soit fermé, et ben je fais tout le tour. (ca va ressembler à ces machins qu'on met sur les pattes des dindes de Noël)
Bon, mais du coup cela va créer un petit volume fermé en haut. Volume que je serais infoutu d'ouvrir sans ouvrir la surface à moins de créer une fractale de "chaussette à dinde", ou que je me décide à faire une bouteille de Klein.
Bon, c'est donc qu'elle sert à quelque chose si je n'arrive pas à m'en passer. Ou alors, c'est que je n'ai pas assez d'imagination ... Pour l'instant
 
Merci !