Dans la premiere partie du probleme on approche le nombre reel p = (1/2)^(1/3) a l?aide d?une suite numerique. Dans la seconde partie grace a cette methode on approche sur l?intervalle [0 ,1] la fonction t  t^(1/3) a l?aide d?une suite de fonctions polynomiales et on evalue la rapidite de la convergence.
 
On notera qu?une valeur approchée de p a la precision de 10^(-9) est 0,793 700 526.
 
I.APPROXIMATION DE P
 
Soit j un nombre reel strictement positif. On considere la fonction numerique fj definie sur l?intervalle[0,1] par la relation :
 
    Fj(x)=x+j((1/2)-x^3)
 
1) montrer que p est l?unique solution de l?equation fj(x)=x.
fj(x)-x=0 soit j((1/2)-x^3)=0 comme j>0 sol : x^3=1/2 soit x=(1/2)^(1/3)=p
 
2)a) calculer la derivée de fj. Montrer que fj est croissante sur[0,1] si et seulement si j<=1/3. on suppose desormais que cette condition est satisfaite.
 
 F definie continue sur [0,1] f??(x)= 1-3jx²
 
 Pour tout x appartenant[0,1] 1-3jx²>=0soit jx²<=1/3 equivaut a j<=1/3
b)prouver que l?intervalle ]p,1] est stable par fj c?est a dire que :
   fj(]p,1]) inclus dans ]p,1].
 
F croissante sur ]p,1] car croissante sur [0,1] et p inclus dans [0,1] donc f(]p,1])=]f(p),f(1)]
             =]p+j((1/2-p^3);1+(1/2)j]or ((1/2)-p^3)=0
donc =]p;1+(1/2)j]
 
or 0< j<=1/3
   0>-1/2j>=-1/6
   1>1-(1/2)j>=5/6
 
donc inclus dans ]p,1]
c) montrer que, pour tout element x de [p,1] :
 
        0<=fj(x)-p<=(x-p)f ? j(p)
 
 
p<=fj(x)<=1
0<=f(x)-p<=1-p
 
theoreme des accroissements finis
 a=p     b=x
 
(f(x)-f(p))/(x-p)=f ? (c)
f(x)-p=(x-p)f? ?(c)
 
il existe c appretant [p,x]
 
p<c<x
 
on a besoin juste de p<=c  
                              1-3jp²>=(1-3jc²)(x-p)
                                           =f(x)-p
3) soient c un element de ]p,1] et v la suite definie par la relation de recurrence :
                        v(n+1)=v(n)+j((1/2)-v(n)^3)
a. montrer que la suite v est strictement decroissante et qu?elle converge versp.
 
v(n+1)<v(n) et v(n)>p
 
par recurrence :
 
v1-v0=1/2j-jc^3 or j>0 dc du signe de ½-c^3 or c>p donc c^3>1/2
 
donc v1<v0 et v0=c et c appartient a ]p,1]
 
on suppose v(n+1)<v(n) et v(n)>p vrai
montrer vrai a (n+1)
 
f croissante donc f(v(n+1))<f(v(n)) soit v(n+2)<v(n+1) car v(n+1)=f(v(n))
                    et f?(v(n))>f(p) soit v(n+1)>p
 
donc vrai !
b)montrer que  pour tout nombre entier naturel n :
 
0< v(n)-p<=(c-p)[f ?j(p)]^n.
 
je sais pas faire
 
c)montrer que f ? j (p) est minimal  si et seulement si j=1/3.
 
je sais pas faire
 
4)on suppose  que j=1/3 et on prend v0=c=0,8.calculer v(n) ^pour n<=8.
Montrer que 0<c-p<7.10^(-3) et majorer v8-p.(dans cette question on n?utilisear pas la valeur approchée de p donnée en tete d?enoncé )
je sais pas faire