Bonjour pourriez vous m'aider pour cette exercice d'un DM de maths. J'ai un problème à partir de la question 3
Voila cet exercice:
 
On pose Q(X)=X²+1
Le but de cet exercice est de trouver l'ensemble E des polynomes P(X) de l'ensemble R tels que QoP=PoQ, c'est à dire P(X)²+1=P(X²+1)
On rappelle que seul le polynôme nul a une infinité de racines.
         1) Soit P(X) un polynôme de E. Démontrer que P(X)=P(-X) ou que P(-X)=-P(X)
         2) Soit P(X) un polynôme de E tel que P(-X)=-P(X)
On définit la suite (Un) d'entiers par U(0)=0 et pour tout n de N, U(n+1)=Un²+1
               a)  Démontrer que pour tout n de N , P(Un)=Un
               b) Prouver que l'ensemble {Un/ n appartient à N}
               c) En déduire que P(X)=X
         3) Soit P(X) un polynôme de R tel que P(-X)=P(X)
               a) Prouver qu'il existe un polynôme R(X) tel que P(X)=R(X²)
               b) En déduire qu'il existe un polynôme S(X) de R tel que P(X)=S(X+1)=SoQ(X)
               c) Démontrer que si A(X) et B(X) sont deux polynômes tels que AoQ=BoQ, alors A(X)=B(X)
               d) On suppose que P(X) appartient à E. Montrer alors que S(X) est un polynôme de E.
         4) Soit P(X) un polynôme de E tel que P(-X)=P(X). D'après précédemment, il existe un polynome S1(X) de E tel que P=S1oQ
               a) Démontrer que S1(X)=X ou qu'il existe un polynôme S2(X) de E tel que S1=S2oQ
Tant que c'est possible, c'est à dire tant que Sk(X)différent de X, on construit le polynôme Sk+1(X) de E tel que Sk=Sk+1oQ
               b) Démontrer qu'il existe un entier n de N* tel que Sn(X)=X
               c) Démontrer qu'alors P=QoQoQo...oQ. Quel est le degrés de P(X)?
        5)    a) Déterminer E
               b) Calculer le polynôme de E de degrés 16.
 
Si vous pouvez m'aider pour les questions à partir de la question 3 car je suis vraiment bloqué à partir de la 3, je ne sais comment on montre que les polynôme R et S existent, je ne sais pas d'où partir.
Toutes les aides seront les bienvenues. Merci d'avance à ceux qui m'aideront.

Merci
D'accord mais comment on montre que le polynôme R(X) existe puis S(x)??

On sait donc que P s'écrit P(x)=aX^2+bX^4+cX^6... ainsi il suffit de prendre R(X)=aX+bX^2+cX^3 et on a R(X^2)=P(X) pour tout X de R.

Mais je ne saisit pas tout.  
On ne connais pas le degrés de P.
Je ne sais si cela suffit pour montrer que le polynôme R existe et après on ferait comment pour S (question d'après). Merci pour vos explications.

"Soit P(X) un polynôme de R tel que P(-X)=P(X)"
P a donc un degré fini, nommons le "n".
 
Vu que pour tout X de R, on a P(-X)=P(X), P n'est qu'une somme de polynomes de degrés pairs, donc n est pair.
 
D'où P(X)=aX^2+bX^4+cX^6... +lambda*X^n
 
et si on prend R(X)=aX+bX^2+cX^3+...+lambda*X^(n/2) , on a R(X^2)=aX^2+bX^4+cX^6... +lambda*(X^2)^(n/2)=aX^2+bX^4+cX^6... +lambda*X^n=P(X)
 
on a donc montré qu'il existe un polynôme R(X) tel que P(X)=R(X²).

D'accord merci beaucoup je comprend mieux maintenant.
Et pour la question d'après on fais le même raisonnement?