Bonjour, j'ai besoin d'aide sur un exercice concernant les suites, j'ai réussi la première question mais je n'arrive vraiment pas à faire la suite ... :  
(c'est l'exo 89)

J'ai réussi la question 1.a. et pour la 2.a. j'ai juste réussi a montrer que les deux ont le même encadrement  
Merci de votre aide

Tu peux ecrire l'exo stp? L'image est bloquee a mon boulot...  

On considère la suite (Un) telle que U0=0 et, pour tout n : Un+1 = ((racine de2)/2) * (racine de (1+ Un))
1.a. Montrer que pour tout entier n strictement positif, on a l'encadrement (racine de2)/2 =<Un=<1 . (j'ai reussi cette question)
 
1.b. Etudier le sens de variation de la suite (Un) et en déduire qu'elle est convergente  
 
2.a. Montrer que pour tout nombre x appartenant a l'intervalle [0; pi] :
 
racine de ((1+cos x)/2) =  cos (x/2)  
(j'ai reussi a montrer que les deux ont le même encadrement, mais pas qu'ils sont égaux)
 
b. Montrer alors que pour tout entier naturel n :  
Un = cos (pi/2^(n+1))
déterminer ainsi la limite de la suite (Un)

1b conjecture le sens de variation avec ta calculatrice et démontre par récurrence (ça prend + de temps mais au moins tu restes pas bloqué)

Je peux pas parce que j'ai Un+1 en fonction de Un et pas Un en fonction de n

1.b Mais si tu peux.... L'hypothese de recurrence est H_n: U_{n-1} < U_n, pour n >= 1.
 
* Vrai pour n = 0. Tu calcules U_1 qui est bien > U_0.
 
* H_n => H_{n+1}.
On suppose que  U_{n-1} < U_n et on doit montrer que U_n < U_{n+1}:
U_{n+1} / U_n = sqrt{ [ 1 + U_n] / [1 + U_{n-1}] } > 1
 
Donc U est une suite strictement croissante majoree donc convergente.
 
2.a Utiliser cos(y) = {exp(i*y) + exp(-i*y)} / 2   (ou i * i = -1)
 
1 + cos (x) = {2 + exp(i*x) + exp(-i*x)} / 2  
                = { [exp(i*x/2) + exp(-i*x/2)]^2 } / 2  
                = 2 * [cos(x/2)]^2       (car exp(i*x/2) + exp(-i*x/2) = 2 * cos(x / 2))
D'ou le resultat.
 
 
2.b Facile par recurrence. Vrai pour n = 0.  
Si vrai au rang n, U_{n+1} = sqrt{[1+U_n]/2}  
                                     = sqrt{[1 + cos(PI / 2^{n+1})] / 2} en utilisant l'H.R. (n)
                                     = cos(PI / 2^{n+2}) en utilisant la formule dans 2.a

ah d'accord merci ! (et j'ai réussi la 2.b)