Bonjour à tous,
 
Bon c'est pas dans mon habitude de venir chercher de l'aide en math sur des forums mais là je suis coincé....
C'est un DM de probabilité, et je suis une bille dans cette discipline.
Voilà l'énoncé:
 

 
Je coince quasiment à toutes les questions, donc si quelqu'un pouvait me donner des indications afin de m'aider à démarrer, ce serait super!
 
Merci d'avance de votre aide!

Pour la 1.1 je dirais que T=sup{Xk}
 
après je ne sais pas ce qu'est une densité de proba    
 

 
 
 
1.1 Deja repondu
 
1.2 Remarquer que (T <= t ) = intersection (X_k <=t) et supposer l'independance des X_k.  
 
Les details:

 
1.3 E[ T ] = integrale sur R+ de { t * f(t) } dt
0<= t * f(t) <= n * lamba * t^2 * exp(-lambda*t) qui est integrable
 
2.1 Pour tout n >= 0, P(N - 1 = n) = exp(-mu) * mu^n / n!  
Donc pour tout n >= 1, P(N = n) = exp(-mu) * mu^(n - 1) / (n - 1)!  
 
2.2 P(T <= t | N = n) = F(t) calcule plus haut, qu'on note desormais F_n  
 
2.3 F_T(t) = E[ 1(T<=t) ]  
           = E[ 1 { (T<=t) inter [union de n=1 a +inf de (N = n) ] }]     (union de n=1 a +inf de (N = n)  =  Omega)
           = somme n=1 a +inf de P({T<= t} inter {N = n})                 (les evenements {N = n} sont disjoints)
           = somme n=1 a +inf de { P(T<= t| N = n) * P(N = n) }         (formule conditionnelle)
           = 1(t>=0) * somme n=1 a +inf de { [1 - exp(-lambda * t)]^n * exp(-mu) * mu^(n - 1) / (n - 1)! }
 
2.4 T est une v.a. continue car F_T serie CV de fonctions continues. f_T(t) se calcule en derivant F_T(t) comme precedemment.
 
2.5 Meme majoration qu'en 1.3 puis serie CV.

Merci à vous deux de m'avoir répondu.
 
Quant, je ne comprends pas ta réponse à la 1.2: concernant le calcul de la densité, T étant le max de {Xk}, T suit également la loi exponentielle, donc la densité de probabilité n'est pas la loi exponentielle????
 
Merci de m'éclairer sur ce point, qui me semble flou.

C'est le T' := min{ X_k, 1 <= k <= n } qui suit une loi Exp(n * lambda). Ca se demontre de la meme facon en remarquant que {T' > t } = intersection des {X_k > t}.
 
Mais T NE suit PAS une loi exponentielle (ok, sauf si n = 1), c'est ce que montre dans le 1.2.
 
Sinon en 2.3 on peut developper un peu plus:
F_T(t) = 1(t>=0) * [1 - exp(-lambda*t)] * exp {-mu*exp(-lambda*t)}, sauf erreur.

merci de ta réponse,
 
cependant, pour la question 2.3, pour moi, la question 1 représente T<=t inter n=N, tandis que la question demande T<=t sachant n=N....
donc on utiliserait la formule P(A|B) = P(A inter B)/P(B) non???

Non, dans la 1ere partie on s'interesse a {T <= t | N = n}.  
Si on note T_n := Max{ X_k; 1 <= k <= n }, le max de n v.a.r., dans 2.3 on a T = T_N (la v.a. N est en indice) le max de N v.a.r., ou N est lui-meme aleatoire.
 
D'ou P(T <= t | N = n) = P(T_N <= t | N = n)
                               = P(T_n <= t | N = n)
                               = P(T_n <= t)   car T_n independant de N.