Salut à tous  
 
J'ai un exo de math dont je n'arrive pas à trouver la solution
 
il s'agit de démontrer par récurrence que quel soit le naturel n non nul: 1/n! <(ou égal) 1/2(puissance n-1)
 
J'ai donc résolu une 1ère partie du problème
 
c'est à dire déterminer P qui désigne l'inégalité : 1/n! <(ou égal) 1/(2(puissance n-1))
no= 1
 
on vérifie alors si P(1) est vrai : 1/1! = 1    et 1/(2(puissance 1-1)) =1   donc l'inégalité 1<(ou égal) 1 est donc vérifiée.
 
On doit alors vérifier si P est héréditaire
 
On se donne un entier k appartenant à N pour lequel P(k) est supposé vrai
On se demande si P(k+1) est vrai..
 
Et c'est là qu je n'arrive pas à aboutir à une solution
 
je pense(je n'en suis pas sur du tout) que P(k+1) devrait s'écrire 1/(k+1)!< (ou égal) 1/(2(puissance k-1)) + 2puissance (k+1)???
 
Si tel est le cas..je n'arrive pas à aboutir à ce résultat..  
 
Toutes vos réponses seront les bienvenues  
Merci

Je sais pas comment tu as trouvé ce P(k+1) mais pour moi c'est pas ça du tout

justement c'est sur ce P(k+1) que je bloque.....

Si P(k) est 1/k! <= 1/2^(k-1)
P(k+1) est 1/(k+1)! <= 1/2^k non ?

Soit P(n)=1/2^(n-1)-1/n!>=0
p(1) no soucy
soit p(n)
p(n)>=0 => p(n)/2 >=0 => 1/2^n-1/(2*n!)>=0  
or 1/(n+1)!<=1/(2*n!) pour n>1
d'ou P(n+1)

Simon, la réponse te convient ?

merci parisjohn  
 
je viens de mettre tout ça au clair en effet, je n'y avais pas pensé à ça    
 
Cependant cet exercice(qui me pose vraiment beaucoup de problème ) veut ensuite que l'on déduise de la question précèdente(c'est à dire après avoir montré par récurrence que 1/n!<= 1/2(n-1) ) qu'à partir de (un) définie par un= 1/1!+...+1/n!= somme(k=1) des n premiers 1/k!, la suite est majorée et ensuite convergente.
 
 
je pense qu'il faut déjà savoir si (un) est croissante ou décroissante
 
Ensuite on sait que toute suite croissante et majorée converge
 
 
Ici en l'occurence, (Un) est croissante il me semble...mais dans ce cas comment savoir par quelle valeur elle est majorée?
De même  pour la convergence ...Vers quelle valeur converge cette suite?
 
Mettez moi sur la piste svp car là je galère un ptit peu sur cet exo  
 
Merci  

Non c'est plus facile que catu ecris l'egalite et tu somme sde chaque cote de ton egalite
somme(1/k!)<=somme(1/2^(k-1))
or la somme de droite c'est une suite geometrique de raison 1/2 donc ca converge
ta suite (un) est croissante et majorée donc converge
(un) croissant c'est evident regarde u(n+1)-u(n)=1/(N+1)! >0 !!!
Ce raisonnement est classique

ttt arnaque, dm coupé en deux posts

Bon pour lui finir l'exo on peut lui dire que
somme(1/k!)->e
somme(1/2^n)-> 2

Je crois pas qu'en mettant le DL de l'exponentielle dans un DM de seconde je pense pas qu'il  va trop kiffe son prof

Oui c'est vrai qu'en seconde on ne connait pas exp.
Eh bien il pourra au moins démontrer somme(1/2^n)->2

oui ca c bon