Si on vous avez donné un devoir à renvoyer à un prof avant ce soir, et que une qeustion ressemblerait à ça :
 
Déterminez 2 polynomes de degré 3 admettant pour seules racines 1 et 2 et prenant la valeur 1 en zéro !
 
Comment répondriez vous ?

bon allez comme je suis sympa je vais te donner des pistes, j'ai meme resolu, mais j'ai pas vérifié, je te laisse le soin de verifier...
soit ton polynome de degré 3 : dont les coefs sont a, b, c, d
donc ton poly s'écrit :
P(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d
tu as P(0)=1=d
donc tu as déja d=1
tu sais que P(1)=P(2)=0 car 1 et 2 sont racines
P(1)=a+b+c+1=0
P(2)=8a+4b+2c+1=0
il te reste donc a resoudre le systeme composé par P(1) et P(2)
comme tu as 3 inconnues pour 2 équations, tu as nettement plus que 2 solutions, ce qui veux dire que tu dois imposer des valeurs à b ou c ou a (mais tu ne peux pas mettre 0 à a car sinon tu ne serai plus que de degré 2)
donc on va choisir succesivement c=0, puis b=0 par soucis de simplicité...
 
pour c=0:
le systeme se simplifie et donne
4a+4b=-4
8a+4b=-1
donc tu trouves
a=3/4 et b=-7/4
 
pour b=0:
le systeme se simplifie et donne
2a+2c=-2
8a+2c=-1
a=1/6 et c = -7/6
 
donc tu as touvé deux polynomes de degré 3 :
P1=(3/4)*x^3-(7/4)*x^2+1
P2=(1/6)*x^3-(7/6)*x+1
 
reste a verifier que c'est bon
 
je vais voir ca avec Mathematica et je te dis si c'est bon...

[edtdd]--Message édité par gagou--[/edtdd]

gagou >> la methode que tu utilises semble OK, par contre, les polynome que tu donnes ne sont pas bons, pour le premier il y a une troisieme solution (x = -2/3) et idem pour le deuxieme avec -3, si j'ai le temps j'assaierais de trouver des polynomes repondant au probleme avec ma TI92 ...
 
Voilà, A+
 
edit car petite faute de frape sur ma caltos !

[edtdd]--Message édité par eusebius--[/edtdd]

ya quand meme bcp + simple. Dans un polynome, on peut tjs factoriser par les racines. Donc,  
soit r la 3e racine inconnue
 on a (x-1)(x-2)(x-r)=0
 
et en x=0, (0-1)(0-2)(0-r)=1 => -1 * -2 * -r = 1
donc r=-1/2

bon ben ca marche, je viens de les ploter avec Mathematica, et voila les graphs :
 
pour p1:

pour p2:

 
donc on voit bien que :
P1(0)=p2(0)=1
p1(1)=p2(1)=0
p1(2)=p2(2)=0
 
donc tu as trouvé deux polynomes de degré 3 satisfaisant aux conditions imposés... mais il y en a bcp d'autres...

J'ai un peu vérifié et on dirait que c bon..

...et ton poly nome sera donc
x^3 - 2.5 * x^2 + 0.5 * x + 1

tain c'est vrai ca...
trop con moi, ca fait trop longtemps que j'ai pas fait ce genre de pbs...  
j'ai meme pas vérifié que j'avais pas 3 racines
 
sinon :
titi_4js > c'est bien beau de factoriser comme ca, mais la tu impliques qu'il y a 3 racines, alors quon sait qu'il n'y en a que 2... donc pas possible...
 
je vais en rechercher une autre...

bon donc mes deux polynomes admettent 3 racines...
c'est pas cool du tout, ca
 
saloperies de polynomes, ca fait trop longtemps que j'ai pas bossé la dessus

je supposes qu'en imposant que le determinant de la dérivé de P soit nulle, on ne devrait avoir qu'un seul point d'inflection, non??
 
bon je vais vérifier et chercher des solutions verifiant ca...

bon ben ca m'a pas l'ai con ce que j'ai dis en dernier, pour une fois
 
donc ce coup ci le systeme deviens :
4*b^2-12*a*c=0
a+b+c+1=0
8*a+4*b+2*c+1=0
 
allez hop on cherche des solution

merci mais entre tps j'ai trouvé  
 
f1(x)=-1/4(x-1)(x-2)²
f2(x)=-1/2(x-2)(x-1)²

ca me fait plaisir que tu ai trouvé....
 
bon sang c'est bcp trop loin de moi ces pbs de maths, je commencais à m'embarquer dans des complications
 
mais c'est sur que le seul moyen d'avoir que deux solutions, c'est que 1 ou 2 soient racine double ))

je tiens juste à preciser, que le coup d'imposer le determinant de la dérivée comme étant nulle, ca marche et ca donne bien 2 polynomes, mais ce sont des polynomes Complexes et pas des polynomes Réels...
si tu veux les solutions, mais je ne pense pas qu'elles te servent à grand chose  

1 et 2 sont racines, une est double.
 
premier polynome: (k1 et k2 sont des constantes)
 
P1(x) = k1 (x - 1)^2 * (x - 2)
p2(x) = k2 (x - 1) * (x - 2)^2
 
prend k2 et k1 pour avoir P1(0) = P2(0) = 1

[edtdd]--Message édité par drdrake--[/edtdd]

dites moi si g bon, mais quand on demande un polynome par ses 0 et ses racines, c'est quand meme moins abruti de passer par une forme factorisee, c immediat et ca demande pas de calculatrice.

oui oui c'est bon... cf plus haut (réponse postée par MasterX)
je sais je sais j'y suis allé bourrin, et je me suis meme pas placé dans l'espace des réels...
honte à moi
 
sinon pour résoudre les systèmes que j'ai posé, il n'y a pas besoin de caclulatrices, il y a juste besoin d'une feuille de papier bien longue
apres on peut s'amuser a utiliser Mathematica ou une calculette pour vérifier...

en plus la merde c'est que mes polynomes complexes, ils n'ont que deux solutions dans R mais ils en ont 1 de plus dans C
 
bon faut que je dorme
 
bon ben heuresement que j'ai arrété les maths
 
plutot :
heuresement que j'avais pas ce genre de maths en exam...  
je sais pas pq tout d'un coup je me remets à aimer la modélisation...  

et si je prends la valeur réelle de mes polynomes Complexes je retombe sur nos polynomes Réels à Racines doubles...
 
bon sa va je suis pas si fou
mais bon je dois aimer me compliquer la vie (rectification j'aime les choses compliquées   )

certes!, pourquoi faire tres simple quand on peut faire complique!      

c'est tellement plus drole  
s'amuser a rechercher des vieilles propriétés dans a mémoire, bosser dans des espaces plus grand, et a la fin retourner dans l'espace de départ... c'est bon de savoir qu'on ne se souvient pas forcement des bases, mais qu'en bricolant avec ses souvenirs on peut retrouver un resultat  

J' ai un DM à faire pouvez m'aider s'il vous plaît!  
C'est la construction de nombres rationnels,
Pour placer sur la droite des réels le point A d'abscisse 3/7 Théo qui n'est pas très rigoureux calcule à la machine 3/7= environ 0,43 et dessine A un peu avant le point d'abscisse 0,5.
Marie prétend avoir un truc elle calcule la différence 7-3=4 et se sert du quadrillage comme dessiné ci contre
 
1. Est ce juste indication calculer OA
2. En s'inspirant de la méthode de Marie représenter sur deux quadrillage différents les nombres 5/11 et 13/5

Désolé j'arrive pas à afficher le quadrillage!