bonjour à tous,
 
voila l'équation :
 
z^4-〖6z〗^3+〖24z〗^2-〖18〗^z+63
 
dsl, j'arrive pas a écrire les puissance comme il faut je sias pas comment faut faire.
 
1) démontrer que l'équation P(z) = 0 admet 2 solutions imaginaires pures conjuguées l'une de l'autre.
 
je ne vois pas du tout comment partir car il y a du 4eme degres et qu'il n'y a pas de racine évidentes :s

si ce n'est pas factorisable dans R, alors tu as un facteur en (z^2 + a), et donc deux racines imaginaires

reste à montrer que ce n'est pas factorisable dans R, par exemple en étudiant les variations de la fonction

a on peut montrer ca en étudiant les variations? donc pour ca ok, dérivé seconde on déduit dérivé premiere et etc, c'est ca?

p'(Z)=4z^3-18z²+48z-18
p''(Z)=12z²-36z+48=12(z²-3z+4)
 
p''(z) nul ssi 12=0 ou z²-3z+4=0
 
delta=b²-4ac= (-3)²-4*4=-5
 
donc p'' n'a pas de solution dans R.
le probleme, c'est que ca prouve que P(Z) n'a pas de solution dans R d'accord, mais pas qu'il y a 2solutions imaginaires pures...  
ca prouve juste que ce ne sont pas des solution réelles ''pures'' non? ca pourrait tres bien etre 3i+4 par exemple qui n'est pas imaginaire pur.  
 
je suis dsl, on nous a donné cet exo pour jeudi prochain, et en ce moment pour des raison de santé, j'ai raté tous les après midi, donc peut etre il me manque quelque notions :s

la réponse est dans la question en fait
cherche une solution du type z=x*i avec x réel
 
tu trouveras facilement que z=i*srqt(3) est solution...
 
 

si je pose z=x*i  
après simplification j'obtiens :
 
i (x^4+6x^3-24x²-18x)+63=0  
ca fait bien un truc du type a*i mais il y a un +63 :s et ca, je vois pas comment m'en débarasser ^^

ok je ne peux plus rien pour toi alors

mouais odnc meme si tu as la solution, supposons qu'elle soit juste, tu ne l'as pas trouvé au pif quand meme ^^

 
 
Ca voudrait dire que tout polynome non factorisable dans R a nécessairement deux racines imaginaires pures ?  
 
 
 
PS : il y a bien une solution
 

voila, c'est bien ce que je dis, c'est pas parce qu'il n'y en a pas dans R qu'elles sont forcément pure dans C

 
Je pense qu'il a lu l'énoncé un peu vite : il a pas vu le "pure"

mais ma question n'est toujorus pas résolu
 
car en fet, c'est uniquement a la question 2 qu'ils parlent de factoriser ^^ a la question 2 j'ai démontrer que p(z)=(z²+3)Q(z) mais ca j'ai su faire ^^ mais la 1ere, je beugue complet :s

 
Comment ça, pas résolu ?
 
Si tu sais que ton polynome est facteur de (z²+3), tu ne dois pas avoir de mal à lui trouver des racines imaginaires pures.

j'ai pas le droit de m'en servir dans la premiere question de ca je pense car on me le dit dans la question 2 que c'est facteur de (z²+3) donc je pense que la prof s'attend a une autre méthode...
le probleme est que je ne vois pas cxomment on peut le prouver autrement

 
Considérons les deux propositions suivantes :
 
(i)   i.sqrt(3) et -i.sqrt(3) sont deux racines de P(z)
 
(ii)  P(z) est facteur de (z² + 3)
 
 
 
- La méthode d'irish boy permet de trouver (i)
 
- D'autre part, on a   (i)  <=>  (ii)  ,  ce que tu devrais savoir normalement.
 
Le professeur vous le dit explicitement dans l'énoncé, sûrement pour qu'on puisse continuer sans avoir répondu à la première question.
 
- Après, je n'ai pas bien compris l'intitulé exact de la question 2 : il faut factoriser p(z) ?? Dans ce cas, procède par identification, tu retrouveras la formule que j'ai mise en spoiler plus haut (ou pas, j'ai pas vraiment vérifié le calcul...)

la qestion 2 je l'ai traité sans problème ^^

et j'arrive pas a avoir le résultat d'irish boy avec sa méthode :s

je l'avais vu, mais mes souvenirs de maths commencent à dater...

 
il faut penser au fait que :
 
A + i.B = 0 <=> A=0 et B=0

euh, oui mais A vaut 63 est 63 est différent de 0 donc :s

 
Je parlais dans le cas général, pour A et B réels quelconques.
 
Concrètement, quand tu fais z = i.x dans P(z)=0, tu obtiens une formule que tu peux mettre sous la forme A + i.B = 0 ...

oui je trouve ca :  
i (x^4+6x^3-24x²-18x)+63=0  
 
ce que j'ai mis un peu plus haut dans le topic, alors j'ai du me planter, parce que sinon je vois pas...

 
 
 
Une seule formule : i² = -1

Pour 1, tu peux y aller en bourrin. P(z) =  0 a deux solutions imaginaires pures conjuguees <=> z^4-〖6z〗^3+〖24z〗^2-〖18〗^z+63  = (z-xi) (z+xi) (z^2 +az +b ) ( avec x reel ) = ( z^2 + x^2 )( z^2 + az + b ) puis tu essaies de trouver a, b et x^2

bon je te mets sur la voie...
 
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
 
je pense que ça devrait résoudre ton problème    
 
mantenant en connaissant la question suivante, tu peux dire:
"Testons la solution i*sqrt(3)"
et hop par magie c'est une racine, ce qui répond à la question 1  

gui901 a vraisemblablement raison, si il existe deux solutions imaginaires pures xi et -xi ,alors (z²+x²) est facteur dans P(z) et donc P(z)=(z²+x²)(z²+az+b)  . En développant tu trouves a puis x² puis c en 2 lignes.
Si à la deuxième question on te demande de factoriser, peut-être te demande-t-on de faire apparaître les 4 facteurs.

si je pose z=xi j'obtiens :
 
(xi)^4-6(xi)^3+24(xi)²-18xi+63
x^4+6x^3i-24x²-18xi+63
i(6x^3-18x) + x^4-24x²+63
i(6x(x²-3)) + x^4-24x²+63
 
donc la i(6x(x²-3))= 0 équivaut a
x=0 x=sqrt 3 ou -sqrt 3  
 
il vient faire quoi le 0 dans l'histoire la? ca veut dire qu'il existe une solution réelle pure non? si elle n'est pas dans les imaginaires...

on demande la forme trigo de la valeur négative soit -isqrt3, juste pour confirmation, c'est bien:
 
sqrt3 (cos (-pie/4) + i sin (-pie/4) )

-i = exp(-iπ/2)  
 

et tu en fais quoi de ton  x^4-24x²+63 ?

la on s'en foutait dans la premiere partie on demandais juste de montrer qu'il y avait 2 solution imaginaires pures ^^  
 
et pour exp machin ^^ on l'a pas encore fait meme si c'ezst vrai quand regadant sur les bouquin j'ai compris comment ca marchait la notation, mais on l'a pas encore vu en cours donc...

tu n'as rien démontré du tout avec ce que tu as fait...

si tu préfères : -i = cos(-π/2)+i*sin(-π/2) = exp(-iπ/2)= 0 + i*-1 = -i

 
Non l'équation z^4-6z^3+24z²-18z+63=0 n'a aucune racine réelle. Elle a 4 racines dans C dont deux sont des imaginaires pures.
 
Ton raisonnement qui consiste à remplacer z par xi est possible mais il faut le mener jusqu'au bout.
Pour que xi soit racine de l'équation, il faut que (xi)^4-6(xi)^3+24(xi)²-18xi+63 = 0  donc que i(6x(x²-3)) + x^4-24x²+63 = 0 et pour celà il ne suffit pas que 6x(x²-3) = 0 mais il faut que 6x(x²-3) = 0  ET que x^4-24x²+63 = 0 or si x=0 on a bien 6x(x²-3) = 0 mais pas x^4-24x²+63 = 0 . Tu dois chercher les racines de x^4-24x²+63 = 0 (pense à poser x²=X)
 
Mais je persiste à penser que la méthode que te proposait gui901 est plus simple, de plus elle conduit directement à la factorisation.
 
 

Ben comme par hasard en remplaçant x par racine de 3....

ou par - racine de 3...
 
donc....

ok, j'ai fais la question 1/2/3 du devoir au moment ou j'écris, question 4 montrer que les solution de l'equation de p(z)=0 appartiennent a un meme cercle.  
 
comment on montre que des points appartiennent a un cercle O_o sans l'équation du cercle je vois pas enfin, la seule méthode qu'eventuellement je peux faire c'est montrer qu'il y a un triangle rectangle donc deja 3 points sur le cercle, et trouver l'équation et montrer que le 4eme vérifie l'équation mais il y a pas plus court???
 
les solution de l'équation je trouve -isqrt 3 ; isqrt 3 ; 3-2isqrt3 ; 3+2i sqrt 3

 
Fais une figure, place les points, observe et tu devrais trouver.

j'ai fais tout ca on le demande ^^ et en fet, je crois que je n'ai pas le choix, faut passer par pythagore, enfin, la réciproque, pour trouver l'équation du cercle et après facile de montrer que le dernier point appartient au cercle.
 
parce que je vois pas comment faire autrement puisque rien ne dit que les point (3;2isqrt3) et (3;-2sqrt3) sont en réalité l'abcisse du centre du cercle. mais on peut pas le dire comme ca, donc obligé de passer par pythagore je pense

Calcules le centre avec deux points, puis tu montres que les distances entre ce centre et les solutions sont égales.

il y a marqué démontrer, est ce que c'est accepter si je mets cach que c'est le centre des 2 points que j'ai dit juste en haut :s ca marche dans ce cas la... mais rien ne permettait de dire que c'était l'abcisse du centre a la base...  
donc je pense que la démo nest moyenne comme ca