Bonjour,
je souhaiterai que l'on m'aide pour mon exercice de mathématiques.
Je ne comprends pas vraiment le produit scalaire.
 
Voici l'exercice sur lequel j'ai quelques difficultés.
 
1)ABC est un triangle quelconque et I est le milieu de [BC]. En utilisat le que vec{AB} = vec{AI} + vec{IB} et vec{AC} = vec{AI} + vec{IC}, démontrer que
     a) AB²+AC² = 2AI² + BC²/2
     b) AB² - AC² = 2vec{AI}.vec{CB} = -4vec{IA}.vec{IB}
 
2) On suppose que AB = 7, BC = 10 et AC = 5
     a) Calculer AI.
     b) Calculer la valeur exacte de cos AIB puis en déduireune valeur arrondie à 0,1° près de AIB.
 
Je m'excuse pour l'écriture des vecteurs, mais je ne sais pas comment mettre les flèches.
J'ai pour l'instant essayé de faire la question 1)a) et 1)b), mais je n'ai pas réussi.
 
Voici ce que j'ai fait pour le moment :
1)a)
AB²+AC² = vec{AB²} + vec{AC²}
AB²+AC² = (vec{AI} + vec{IB})² + (vec{AI} + vec{IC})²
AB²+AC² = vec{AI²} + 2vec{AI}.vec{IB} + vec{IB²} + vec{AI²} + 2vec{AI}.vec{IC} - vec{IB²}
AB²+AC² = 2vec{AI²} + 2vec{AI}.vec{IB} + 2vec{AI}.vec{IC}
AB²+AC² = 2vec{AI²} + 2vec{AI}.(vec{IB} + vec{IC})
 
Je suis bloquée ici, je ne sais pas comment mettre le vecteur BC dans l'expression.
 
2)b)
AB²-AC² = (vec{AI} + vec{IB})² - (vec{AI} + vec{IC})²
AB²-AC² = vec{AI²}) + 2vec{AI}.vec{IB} + vec{IB²} - vec{AI²} - 2vec{AI}.vec{IC} - vec{IC²}
AB²+AC² = 2vec{AI}.vec{IB} + vec{IB²} - 2vec{AI}.vec{IC} - vec{IC²}
 
Idem que pour la question précédente, je suis bloquée, je ne sais pas comment mettre le vecteur BC dans l'expression.
 
Merci de votre aide.

Dans l'énoncé :"I est le milieu de [BC]." Que peux-tu en déduire pour  "vecteur BI" et "vecteur IC" et comment sont "vecteur BI" et "vecteur IB" ?
(Je te rappelle aussi que (a-b)² = a² - 2ab + b²  et pas a² + 2ab - b²)

Je ne comprends toujours pas.
1)a) IB+IC = 0 car I milieu de [BC]
Dans ce cas :  
AB²+AC² = 2vec{AI²} + 2vec{AI}.(vec{IB} + vec{IC})
AB²+AC² = 2vec{AI²} + 2vec{AI}.vec{0}
AB²+AC² = 2vec{AI²}
Ce n'est pas l'égalité de l'énoncé.
 
De même pour le 1)b)
 
Désolé mais je suis vraiment perdue. J'ai passé toute mon après-midi dessus, impossible. Je crois que je vais remettre ça à demain, mais j'aimerai vraiment comprendre maintenant.

Tu prends le problème à l'envers: remplace plutôt AB et AC dans le membre de gauche par leur décomposition (ex.: AB=AI+IB), développe puis utilise le fait que BI=IC=BC/2...